如何证明对所有的正整数n都有42|（n^7-n）
答案:2 悬赏:30
解决时间 2021-11-14 04:19
- 提问者网友：娇妻失忆
- 2021-11-13 05:14
如何证明对所有的正整数n都有42|（n^7-n）
最佳答案
- 二级知识专家网友：陪伴是最长情的告白
- 2021-11-13 05:26
42=2*3*7
n^7-n=n(n^6-1)=n(n^6-1)=n(n^3-1)(n^3+1)=n(n+1)(n-1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)
注意n(n+1)(n-1)是6的倍数
(n^3-1)(n^3+1)是7的倍数：n偶数n^3-1是；n奇数n^3+1是
n^7-n=n(n^6-1)=n(n^6-1)=n(n^3-1)(n^3+1)=n(n+1)(n-1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)
注意n(n+1)(n-1)是6的倍数
(n^3-1)(n^3+1)是7的倍数：n偶数n^3-1是；n奇数n^3+1是
全部回答
- 1楼网友：初心未变
- 2021-11-13 05:52
（1）用数学归纳法。
a（n+1）=an^2-nan+1=an(an-n)+1>=an*2+1>=(n+2)*2+1=2n+5>n+1+2
（2）因为an>=n+2,所以an-n>=2
a(n+1)=an(an-n)+1>=2an+1
a(n+1)+1>=2(an+1)
1/(a(n+1)+1)<=1/(an+1)*1/2
1/(1+a1)=1/4,1/(1+a2)<=1/2*1/4
1/(1+a1) + 1/(1+a2) + ……+1/(1+an) <=1/4(1+1/2+1/4+.....+1/2^(n-1))<1/4*2=1/2
当且仅当n=1时取等号。
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