函数f(x)对任意非零实数x,y恒有服f（xy）=f(x)+f(y),当x属于（0，正无穷），f(x)为增函数求f(1)，f(-1)的

并求证f(x)为偶函数（2）判断并证明f(x)在（负无穷，0）的单调性

解：1、令x=1，y=－1，则代入f（xy）=f(x)+f(y) 得 f（－1）=f(1)+f(－1) 则f(1)=0
同理令x=－1，y=－1，则代入f（xy）=f(x)+f(y) 得f（1）=f(－1)+f(－1) =0 得f(－1)=0
令y=－1，x≠0 代入f（xy）=f(x)+f(y),得f（－x）=f(x)+f(－1)=f(x) 即f（－x）=f(x)
所以f(x)在x≠0 区域上为偶函数（x∈（－∞，0）∪（0，＋∞））
2、f(x)在（－∞，0）上是减函数
设x1＜x2＜0，则－x1＞－x2＞0
因为当x属于（0，＋∞），f(x)为增函数，则f（－x1）＞f(－x2)
又因为f(x)在x∈（－∞，0）∪（0，＋∞） 区域上为偶函数
所以f（－x1）=f(x1) f（－x2）=f(x2)
则f（－x1）＞f(－x2)即f（x1）＞f(x2)
因为x1＜x2＜0 所以f(x)在（－∞，0）上是减函数

（1）另y=1,则有f（x）=f（x）+f（1），所以f(1)=0，另y=1/x，则有f(1)=f(x)+f(1/x)=0,所以f（1/x)=-f(x)。另x=y=-1，则f(1)=2f(-1)=0，所以f(1)=f(-1)=0； （2）另y=-1，则f(-x)=f(x)+f(-1)，由于f(-1)=0,所以f(x)=f(-x)为偶函数 （3）f（1/x)-f(2x-1)≥0，由于在(0，正无穷）单调递增，所以1/x＞=2x-1＞=0，解得-0.5＜=x＜1，并且x＞0，2x-1＞0，得到0.5＜=x＜=1， 由于f(x)为偶函数，则在（负无穷，0）单调递减，当f（1/x)-f(2x-1)≥0，则有1/x＜=2x-1＜=0，解得-0.5＜=x＜1，并且x＜0，2x-1＜0，得到-0.5＜=x＜=0， 综上所述-0.5＜=x＜=0或0.5＜=x＜=1