高斯定理能不能导出库伦定律

高斯定理能不能导出库伦定律

高斯定理就是麦克斯韦方程的第三项式（1）▽▪（εE）=ρ，ρ是单位体积的电荷密度，E是电场强度是个矢量，▽▪表示散度，只能对矢量求散度，结果是个标量，ε是电容率是个标量，真空下ε=ε0是个定值，但非真空实际应该写成▽▪（ε0E+P）=ρ，P是介质极化造成的影响，在各项同性、线性介质中P和E成正比，所以可以写成P=χE，ε0E+P=（ε0+χ）E=εE把ε0+χ换成ε，把极化的影响包含在系数中。▽▪（εE）=ε▽▪（E）+E▪▽ε，▽ε是ε的梯度，对标量只能求梯度，结果是个矢量，在均匀介质中ε是个常数，因此▽ε=0，▽▪（εE）=ε▽▪（E），得到式（2）ε▽▪（E）=ρ，这是最简单的情况，一般用库仑定律的情况都默认是这种最简单的情况。理论上所围区域的总电荷Q应该是在有电荷的区域，电荷密度ρ对单位体积dV的积分，等于总电荷Q=∫∫∫ρ*dV，这是式（3）。对于点电荷就更简单了，大部分没电荷的区域ρ都是0，只有点电荷所在ρ*dV才是Q，直接代入已知的点电荷Q就行了。所以对式（2）求体积积分，得到ε∫∫∫▽▪（E）dV=∫∫∫ρ*dV，代入式（3）得ε∫∫∫▽▪（E）dV=Q，这是式（4）。
根据散度的定义，散度就是通过包围体积的表面积的通量▽▪f=lim(△V→0)∮fdS/△V。把f换成电场E，▽▪E=lim(△V→0)∮EdS/△V，对其求体积积分∫∫∫▽▪EdV=∮EdS，这个式（5）用于将对面积积分转化为对体积积分，式（5）同样叫做高斯定理，但我觉得和麦克斯韦方程第三项没什么关系，只是用来将麦克斯韦方程第三项的微分形态和积分形态互相转换。对式（5）代入式（4），那么∮EdS=(1/ε)*Q，这是式（6）。式（1）是麦克斯韦方程第三项（高斯定理）的微分形态，（6）是麦克斯韦方程第三项（高斯定理）的积分形态。当考虑的对象是一个包围点电荷的球形时，球面等电势∮EdS=E*4πr^2，这是式（7），式（7）代入式（6）得E=(1/ε4πr^2)*Q，这个就是式（8）库仑定律，当介质是真空时ε=ε0。因为高斯定理（1）并没有要求不存在变化的磁场，所以无论是不是静电场式（1）都是成立的，从（1）到（8）的推导中（7）要求必须是静电场，所以库仑定律在非静电场不成立。
综上所诉，高斯定理可以推出库仑定律，改变一下库仑定律的前提条件再考虑将无数个Q叠加，将Q变回∫∫∫ρ*dV应该也能推出高斯定理。两者是同一个公式，只是在不同前提下表现形式不同，高斯定理可以看成库仑定律的推广，库仑定律可以看成麦克斯韦方程组第三项在特定条件下的简化。
虽说可能高斯确实是从库仑定律加上（5）推导出的高斯定理，但本来库仑定律就是实验所得经验公式，4πε0这个系数的值都没法确定，还是靠麦克斯韦方程组计算出来的。实在说不上谁推导谁。
参考资料：郭硕鸿《电动力学》135页麦克斯韦方程组和附录一散度、旋度和梯度。

高斯定理加上叠加原理是不可以推出库仑定理,前后两者并不是等价的关系,继续学习后你会知道,高斯定理描绘的是静电场为有源场的特性,而静电场为无旋场的特性则由安培（环路）定理给出（描绘）,也就是说库仑定律加上叠加原理与高斯定理加上安培（环路）定理是在静电场理论中为等价的,高斯定理只反映了静电场的一个特征.
具体来说,证明静电场的高斯定理时没有用到静电荷产生的静电场方向具有径向性与球对称性,故高斯定理加上叠加原理是不可以推出库仑定理的

高斯定理加上叠加原理是不可以推出库仑定理，前后两者并不是等价的关系，高斯定理描绘的是静电场为有源场的特性，而静电场为无旋场的特性则由安培（环路）定理给出（描绘），也就是说库仑定律加上叠加原理与高斯定理加上安培（环路）定理是在静电场理论中为等价的，高斯定理只反映了静电场的一个特征。
具体来说，证明静电场的高斯定理时没有用到静电荷产生的静电场方向具有径向性与球对称性，故高斯定理加上叠加原理是不能导出库伦定律