在各项均为正数的数列{an}中,数列的前N项和满足sn=1/2(an+1/an)

求a1 a2 a3
求an通项公式

sn=1/2(an+1/an)，an=sn-s(n-1)
所以2sn=sn-s(n-1)+1/[sn-s(n-1)]
sn+s(n-1)=1/[sn-s(n-1)]
sn的平方-s(n-1)]的平方=1
以此推处
s(n-1)]的平方-s(n-2)]的平方=1
s(n-2)]的平方-s(n-3)的平方=1
……………
s2的平方-s1的平方=1
左边相加得出 sn的平方-s1的平方=n-1， s1=a1很容易算出来等于1
sn的平方=n，sn=根号n
an=sn-s(n-1)=根号n-根号(n-1)
a1直接代进去算 a1=s1=1/2(a1+1/a1) 所以a1=1
用公式a2=根号2-1
a3=根号3-根号2

sn=1/2(an+1/an) s(n-1)=sn-an=1/2(1/an-an) sn+s(n-1)=1/an sn-s(n-1)=an sn^2-s(n-1)^2=1 s1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1 {sn^2}是首项为s1^2=1,公差为1的等差数列 sn^2=n sn=√n an=sn-s(n-1)=√n-√(n-1)

直接求通项式了。

我就直接算通项公式，不算a2,a3了 a1=s1=1/2(a1+1/a1) 解得a1=1 n>=2时 sn=1/2(an+1/an) 2sn=sn-s(n-1)+1/[sn-s(n-1)] sn+s(n-1)=1/[sn-s(n-1)] [sn]^2-[s(n-1)]^2=1 所以[(sn)^2]为等差数列 所以(sn)^2=(n-1)+(s1)^2=n 所以sn=根号n 所以an=根号n-根号(n-1),n>=2 综上, an=n，如果n=1 an=根号n-根号(n-1),如果n>=2

a1=1/2(a1+1/a1) a1=1 或-1（舍去）因各项均为正数 s2=1/2(a2+1/a2)=1+a2 a2=√2 -1 （-√2 -1舍去） s3=1/2(a3+1/a3)=1+a2 +a3 a3= √3-√2 （-√3-√2 舍去） 所以：an=√n - √(n-1)

解： （1）S1=1/2(a1+1/a1) 又S1=a1 故1/2(a1+1/a1)=a1 即a1^2=1 因为a1>0 故a1=1 S2=1/2(a2+1/a2) 又S2=a1+a2=1+a2 故1/2(a2+1/a2)=1+a2 (a2>0) 解得：a2=√2-1 同理：a3=√3-√2 （2）从（1）中可看出：数列{an}的通项公式可能是：an=√n-√(n-1) 假设an=√n-√(n-1)成立 证明： ① 当n=1时，an=1=√1-√(1-1) 假设成立 ② 当n=2时，an=√2-1=√2-√(2-1) 假设成立 ③ 假设n=i时，假设成立，即 ai=√i -√(i-1) Si=(√1-√0)+(√2-√1)+(√3-√2)+…+(√i-√i-1)=√i 那么，当n=i+1时 由sn=1/2(an+1/an)得 Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1) ai+1=Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-√i 解得：ai+1=√(i+1)-√i 由①②③可证明假设an=√n-√(n-1)成立 an通项公式为：an=√n -√(n-1)