高等数学的数一的数列极限证明问题

图片上的题目

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1、记x1＝√2，x(n+1)＝√(2+xn)，归纳法可以证明0＜xn＜2，从而证得｛xn｝递增，所以xn有极限，设为a，在递推公式两边取极限得a＝√(2+a)，解得a＝2

2、[x]是取整函数吧

x→0+时，1/x≤[1/x]≤1/x＋1，所以1≤x[1/x]≤x＋1，由夹逼准则，x[1/x]→1
x→-时，1/x－1≤[1/x]≤1/x，所以1－x≤x[1/x]≤1，由夹逼准则，x[1/x]→1

所以，lim(x→1) x[1/x]＝1

求极限的常用方法： 1。函数的连续性 2。等价无穷小代换 3。“单调有界的数列必有极限”定理 4。有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量 5。两个重要极限（sinx/x=1,e） 6。级数的收敛性求数列极限 7。罗必塔法则 8。定积分的定义 祝你学习进步！

第一题是个很经典的题目，学高数的基本上都会遇到这道题目。 1、首先要证明极限存在 A（n）单调升（显然） 用数学归纳法证明A（n）<=2； 根号（2）<=2 根号（2+根号（2））<=根号（2+2）=2 若A（n-1）<=2,则 A（n）=根号（2+A（n-1））<=根号（2+2）=2 然后安一楼的方法来做，即可求得极限 2、1/x-1<=[1/x]<=[1/x]+1 对上式同乘以x，运用夹逼法则即可证出（注意x的收敛方向）

由题意可得： 记x1＝√2，x(n+1)＝√(2+xn)，归纳法可以证明0＜xn＜2，从而证得｛xn｝递增，所以xn有极限，设为a，在递推公式两边取极限得a＝√(2+a)，解得a＝2 又[x]是取整函数 当x→0+时，1/x≤[1/x]≤1/x＋1，所以1≤x[1/x]≤x＋1，由夹逼准则，x[1/x]→1 当x→-时，1/x－1≤[1/x]≤1/x，所以1－x≤x[1/x]≤1，由夹逼准则，x[1/x]→1 所以，lim(x→1) x[1/x]＝1