设f（x）=(1+x)?1x ，x≠0e?1 ，x＝0，则f（x）在x=0处（　　）A．不存在极限B．存在极限但不连续C．连续

设f（x）=







(1+x)?
1
x  ， x≠0
e?1 ， x＝0 ，则f（x）在x=0处（　　）

A．不存在极限
B．存在极限但不连续
C．连续但不可导
D．可导

因为
lim
x→0 (1+x)?
1
x =
lim
x→0 (1+x)
1
x ?(?1)=e-1，
所以
lim
x→0 f(x)存在，且f（0）=
lim
x→0 f(x)，
从而f（x）在x=0处连续．
为判断f（x）在x=0处是否可导，只需判断
lim
x→0
f(x)?f(0)
x?0 是否存在．
对于任意x≠0，
f（x）=(1+x)?
1
x ，
故 ln f（x）=?
1
x ln(1+x)，
从而，
f′(x)
f(x) =
1
x2 ln(1+x)-
x
1+x ，
整理即得，
f′（x）=(1+x)?
1
x (
1
x2 ln(1+x)?
x
1+x )，?x≠0．
利用洛必达法则可得，

lim
x→0
f(x)?f(0)
x?0
=
lim
x→0
(1+x)?
1
x ?e?1
x
=
lim
x→0
((1+x)?
1
x ?e?1)′
x′
=
lim
x→0 (1+x)?
1
x (
1
x2 ln(1+x)?
x
1+x )，
因为
lim
x→0 (1+x)?
1
x =e-1≠0，

lim
x→0 (
1
x2 ln(1+x)?
x
1+x )
=
lim
x→0
(1+x)ln(1+x)?x3
x2(1+x)
=
lim
x→0
((1+x)ln(1+x)?x3)′
(x2(1+x))′
=
lim
x→0
ln(1+x)+1?3x2
2x+3x2
=∞，
故
lim
x→0
f(x)?f(0)
x?0
=
lim
x→0
(1+x)?
1
x ?e?1
x
=∞，
从而f（x）在x=0处不可导．
综上，f（x）在x=0处连续但不可导．
故选：C．

支持一下感觉挺不错的