lim(x趋于正无穷)1－根号下cosx/x(1－cos根号下x)用等价无穷小量代换求极限

lim(x趋于正无穷)1－根号下cosx/x(1－cos根号下x)用等价无穷小量代换求极限

解：
lim [1-√(cosx)]/x[1-cos√x]
=lim [1-√(cosx)][1+√(cosx)][1+cos√x]/x[1-cos√x][1+cos√x][1+√(cosx)]
=lim (1-cosx)[1+cos√x]/xsin²√x[1+√(cosx)]
你写错了，应该是x→0，如果是x→+∞，√(cosx)就没有意义！
当x→0时：
lim [1-√(cosx)]/x[1-cos√x]
=lim (1-cosx)[1+cos√x]/xsin²√x[1+√(cosx)]

=lim (1-cosx) /xsin²√x
cosx-1 =-2sin²(x/2)
因此：
lim [1-√(cosx)]/x[1-cos√x]
=lim (1-cosx) /xsin²√x

=lim 2sin²(x/2)/x·x
=2·lim (x/2)²/x²
=1/2

cos√(x+1) - cos√x = - 2 sin [ (√(x+1)-√x)/2] sin[ (√(x+1)+√x)/2] - 2 | sin[ (√(x+1)+√x)/2] | ≤ cos√(x+1) - cos√x ≤ 2 | sin[ (√(x+1)+√x)/2] | 当 x->+∞时 √(x+1)-√x = 1/ (√(x+1)+√x ) -> 0,sin [ (√(x+1)-√x)/2] -> 0 于是 - 2 | sin[ (√(x+1)+√x)/2] | ->0 且 2 | sin[ (√(x+1)+√x)/2] | ->0 由迫敛准则(夹逼准则), lim (x->+∞ ) [ cos√(x+1) - cos√x ] = 0