已知函数f(x)=1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx

答案:2 悬赏:30

解决时间 2021-03-01 17:26

提问者网友：低唤何为爱
2021-03-01 11:41

设g（x）=x2-2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
答案里说：对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有 f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．
问：为啥是f（x）max＜g（x）max而不是f（x）max＜g（x）min,题目里说的是任意均存在啊？？？？

最佳答案

二级知识专家网友：不羁的心
2021-03-01 12:15

解：定义域x>0
1)求导f'(x)=ax-(2a+1)+2/x
f'(1)=a-(2a+1)+2
f'(3)=3a-(2a+1)+2/3
由题有f'(1)=f'(3)整理即1-a=a-1/3,解得a=2/3

2)
f'(x)=ax-(2a+1)+2/x=[ax^2-(2a+1)x+2]/x=(ax-1)(x-2)/x
令f'(x)=0

i)当a=<0,x1=1/a(舍去）,x2=2，
由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,2)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(2,+∞)

ii)当1/2>a>0,0 由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,2)U(1/a,+∞)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(2,1/a)

iii)当a=1/2,有f'(x)>=0,且f'(x)不恒为0，得f(x)单调递增区间x∈(0,+∞)

iiii)当a>1/2,0 由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,1/a)U(2,+∞)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(1/a,2)

3)只需对任意x1 ,x2∈ (0,2]使得f(x1) 因为g(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1>=-1得到min[g(x2)]=-1，x2∈ (0,2]
问题便转化为f(x)<-1在x∈ (0,2]恒成立
即1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx<-1在x∈ (0,2]恒成立
分离常数a,即a>(2x-4lnx-2)/(x^2-4x),在x∈ (0,2]恒成立【注意x^2-4x<0,x∈ (0,2]】
该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(2x-4lnx-2)/(x^2-4x),x∈ (0,2]
求导易得h'(x)=[2(x-2)(4lnx-x-2)]/[(x^2-4x)^2]下面判断h'(x)的符号只需判断4lnx-x-2的符号
引入F(x)=4lnx-x-2,求导得F'(X)=4/x-1=(4-x)/x,显然当x∈ (0,2],F'(x)>0得F(x)单调递增
那么F(x) 因此当x∈ (0,2)，h'(x)>0,h(x)单调递增,【当x∈ (2，4)，h'(x)<0,h(x)单调递减】,
易得到x∈ (0,2],h(x)极大值为h(2)且此极大值必为其最大值。
所以maxh(x)=h(2)=ln2-1/2
由a>maxh(x),得到a的取值范围为(ln2-1/2,+∞)
打字不易，如满意，望采纳。

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1楼网友：社会水太深
2021-03-01 13:10

f'(x)=ax-(2a+1)+2/x=[ax²-(2a+1)x+2]/x=(ax-1)(x-2)/x 定义域为x>0，讨论a 若a<=0,则f(x)有极大值点x=2, f(2)=-2a-2+2ln2,它也为在区间(0,2]的最大值；若a>1/2, 则f(x)有x=1/a, 2这两个极值点，而f(2)为极小值，f(1/a)=-2-1/(2a)-2lna为极大值，它也是最大值；若a=1/2, 则f'(x)>=0, 函数单调增，最大值为f(2)=-2a-2+2ln2; 若0

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