将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F,边AB折叠后与边BC交于G

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F,边AB折叠后与边BC交于G

25.如图将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G.
（2）如果M为CD上任一点,设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,
请把△CMG的周长用含DM的长x（即DM=x）的代数式表示；若无关,请说明理由.
图：
解：设DE=y
三角形DEM相似于三角形MCG
DM=x,DE=y,且EA=EM,EM=2a-DE,还有一个勾股定理可以用，这样，就可以把y用x和a表示，就可以使得GC用a,x表示。
MG用a,x表示。

最后求出周长是2a。

然后呢？

什么问题？

设de=x，ea=y，dm=m,cm=n,则em=y, 可得方程组：x y=2a ① y^2-x^2=m^2 ② m n=2a ③ 由 ①②可求:x=a-m^2/4a=n-n^2/4a 由△dem∽△cmg得：△dem周长/△cmg周长=x/n 又由△dem周长=m x y=m 2a=4a-n (4a-n)/△cmg周长=(4a-n)/4a 所以△cmg周长=4a

江苏沭阳随园中学初二徐老师 证明：（1）设正方形边长为a，DE为x，则DM= a2，EM=EA=a-x 在Rt△DEM中，∠D=90°， ∴DE2+DM2=EM2 x2+（ a2）2=（a-x）2 x= 3a8 EM= 5a8 DE：DM：EM=3：4：5； （2）△CMG的周长与点M的位置无关 证明：设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y， ∵∠EMG=90°， ∴∠DME+∠CMG=90度． ∵∠DME+∠DEM=90°， ∴∠DEM=∠CMG， 又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG， ∴ CGDM=CMDE=MGEM即 CG2a-x=xy=MG2a-y ∴CG= x(2a-x)y，MG=x(2a-y)y △CMG的周长为CM+CG+MG= 4ax-x2y 在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2 即（2a-x）2+y2=（2a-y）2 整理得4ax-x2=4ay ∴CM+MG+CG= 4ax-x2y= 4ayy=4a． 所以△CMG，的周长为4a，与点M的位置无关．给最佳啊！！

从以下分析可以见到△CMG的周长与M点的位置无关，为常数4a。 连接AM则折痕EF是AM的垂直平分线，EM=EA，∠EMG=∠A=90°； 进而可知，在rt△CMG及rt△DEM中，∠CMG=90°-∠DME=∠DEM， 所以△CMG∽△DEM，其周长之比等于相似比。 △DEM的周长：DM+DE+EM=x+DE+EA=x+DA=x+2a。 设DE=y，有方程EM²=x²+y²=EA²=（2a-y)²，整理得4a²-x²=4ay， 相似比MC/DE=(2a-x)/y， △CMG的周长：（x+2a)*MC/DE=(X+2a)(2a-x)/y=(4a²-x²)/y=4ay/y=4a。 当M点位于D点或C点时不构成三角形CMG，但原三角形周长衍化为2倍的正方形边长，仍为4a。