证明 (1+1/x)的x次方 x趋向无穷 极限e
答案:1 悬赏:70
解决时间 2021-02-26 22:38
- 提问者网友：留有余香
- 2021-02-26 18:47
证明 (1+1/x)的x次方 x趋向无穷 极限e
最佳答案
- 二级知识专家网友：你可爱的野爹
- 2021-02-26 19:00
在数列极限的部分已经证明了：当n趋近于无穷时，数列(1+1/n)^n趋近于一个常数，把这个常数记为e，这是e的定义（这是定义，不是证明出来的）。
如何证明关于x的函数(1+1/x)^x趋近于e？其实很简单，把这个函数取自然对数，证明xln(1+1/x)趋近于1就可以了。
由于我们知道ln(1+y)可以做泰勒展开=1/x-1/2x^2+1/3x^3-...所以：
xln(1+1/x)=x*(1/x-1/2x^2+1/3x^3-...)=1-1/2x+1/3x^2-...显然当x趋近于无穷时该函数趋近于1
也就证明了当x趋近于无穷是(1+1/x)^x趋近于e。
如何证明关于x的函数(1+1/x)^x趋近于e？其实很简单，把这个函数取自然对数，证明xln(1+1/x)趋近于1就可以了。
由于我们知道ln(1+y)可以做泰勒展开=1/x-1/2x^2+1/3x^3-...所以：
xln(1+1/x)=x*(1/x-1/2x^2+1/3x^3-...)=1-1/2x+1/3x^2-...显然当x趋近于无穷时该函数趋近于1
也就证明了当x趋近于无穷是(1+1/x)^x趋近于e。
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