如图 已知AB平行CD 分别探讨下面4个图形中∠APC与∠PAC、∠PCD的关系

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如图，当AB‖CD时，图中的∠APC与∠PAB ∠PCD之间存在一定的关系。
如图（1） ∠APC +∠PAB +∠PCD=360°
理由如下：
连结AC。 ∵AB‖CD, ∴∠BAC+∠ACD=180°
∵∠APC+∠PAC＋∠PCA=180°
∴∠APC+∠PAC+∠PCA+∠BAC+∠ACD=360°
∴∠APC+(∠PAC+∠BAC)+(∠PCA+∠ACD)=360°
即∠APC+∠PAB+∠PCD=360°

不是灌水，是真看不到图…图呢。现在还不知道P点位置呢。

∠APC=∠PAB+∠PCD 证明；延长AP交DC于E点。 ∵AB‖CD ∴∠PAB=∠PDC ∵∠APC=∠PCD+∠PDC ∴∠APC=∠PCD+∠PAB

（法一） 如图1所示，过P点做EF∥AB， 则∠PAB=∠APE，（两直线平行，内错角相等） 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD，（平行线的传递性） ∴∠PCD=∠EPC ∴∠APC=∠PAB+∠PCD （法二） 延长CP交AB于点H， 则∠PCD=∠CHA（两直线平行，内错角相等） 则∠APC=∠PAB+∠AHP（外角性质） =∠PAB+∠PCD（等量代换） （法三） 如图3所示：连接AC， 则∠APC+（∠PAC +∠PCA）=180°（三角形内角和为180°） 又∵（∠PAC +∠PCA）+（∠PAB +∠PCD）=180° ∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换） 法四） 如图4所示：分别延长AP、CP，交CD、AB于F、E两点， ∠APC=∠EPD，（对顶角相等） ∵AB∥CD ∴∠AEC=∠PCD（两直线平行，内错角相等） 则∠EPD=∠PAB+∠AEC（外角性质） =∠PAB+∠PCD（等量代换） 则∠APC =∠PAB+∠PCD（等量代换） （法五） 如图5所示：过点P做PE⊥AB，延长EP交CD于点F， 则EF⊥CD,（两直线平行，内错同旁内角互补） 由∠APE+∠PAB+∠AEP=180°（三角形内角和为180°） ∠CPF+∠PCD+∠PFC=180°（三角形内角和为180°） ∵∠AEP=90°，∠PFC=90° ∴（∠APE+∠CPF）+（∠PAB +∠PCD）=180° 又∵（∠APE+∠CPF）+∠APC=180° ∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）

解：①过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠PAB+∠1=180°，∠2+∠PCD=180°， ∵∠APC=∠1+∠2， ∴∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PAB+∠1+∠2+∠PCD=360°； ②过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD， ∵∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD， ∴∠APC=∠PAB+∠PCD； ③∵AB∥CD， ∴∠1=∠PCD， ∵∠1=∠PAB+∠APC， ∴∠PCD=∠PAB+∠APC； ④∵AB∥CD， ∴∠1=∠PAB， ∵∠1=∠PCD+∠APC， ∴∠PAB=∠PCD+∠APC．

如图，当ab‖cd时，图中的∠apc与∠pab ∠pcd之间存在一定的关系。 
如图（1） ∠apc掠艇句幌涞呵抉童慨阔 +∠pab +∠pcd=360° 
理由如下： 
连结ac。 ∵ab‖cd, ∴∠bac+∠acd=180° 
∵∠apc+∠pac＋∠pca=180° 
∴∠apc+∠pac+∠pca+∠bac+∠acd=360° 
∴∠apc+(∠pac+∠bac)+(∠pca+∠acd)=360° 
即∠apc+∠pab+∠pcd=360°