已知函数f(x)=e^x(ax^2-2x+2),其中a>0
(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+e^2y-1=0垂直,求实数a的值 (2)讨论f(x)的单调性
已知函数f(x)=e^x(ax^2-2x+2),其中a>0
答案:1 悬赏:30
解决时间 2021-03-17 12:01
- 提问者网友:伪情浪人
- 2021-03-16 23:58
最佳答案
- 二级知识专家网友:一只傻青衣
- 2021-03-17 00:32
解:1、
因为f(x)=e^x(ax²-2x+2)
所以f`(x)=e^x(ax²-2x+2)+e^x(2ax-2)=e^x[ax²+(2a-2)x]
f`(2)=e²(6a-2)
即曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率是f`(2)=e²(6a-2)
直线x+e^2y-1=0的斜率是-1/e²
由题意有e²(6a-2)*(-1/e²)=-1
解得a=1/3
2、由f`(x)=e^x[ax²+(2a-2)x]>0
因为e^x恒为正值
即ax²+(2a-2)x>0
即ax[x+(2a-2)/a]>0
当(2a-2)/a>0时,即a>1
不等式ax[x+(2a-2)/a]>0解集是x>0或x<(2-2a)/a
当(2a-2)/a<0时,即a<1
不等式ax[x+(2a-2)/a]>0解集是x<0或x>(2-2a)/a
于是
当a>1时,f(x)在(-∞,(2-2a)/a)∪(0,+∞)是增函数,在((2-2a)/a,0)是减函数
当a<1时,f(x)在(-∞,0)∪((2-2a)/a,+∞)是增函数,在(0,(2-2a)/a)是减函数
请采纳。
因为f(x)=e^x(ax²-2x+2)
所以f`(x)=e^x(ax²-2x+2)+e^x(2ax-2)=e^x[ax²+(2a-2)x]
f`(2)=e²(6a-2)
即曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率是f`(2)=e²(6a-2)
直线x+e^2y-1=0的斜率是-1/e²
由题意有e²(6a-2)*(-1/e²)=-1
解得a=1/3
2、由f`(x)=e^x[ax²+(2a-2)x]>0
因为e^x恒为正值
即ax²+(2a-2)x>0
即ax[x+(2a-2)/a]>0
当(2a-2)/a>0时,即a>1
不等式ax[x+(2a-2)/a]>0解集是x>0或x<(2-2a)/a
当(2a-2)/a<0时,即a<1
不等式ax[x+(2a-2)/a]>0解集是x<0或x>(2-2a)/a
于是
当a>1时,f(x)在(-∞,(2-2a)/a)∪(0,+∞)是增函数,在((2-2a)/a,0)是减函数
当a<1时,f(x)在(-∞,0)∪((2-2a)/a,+∞)是增函数,在(0,(2-2a)/a)是减函数
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