已知数列{an}满足：a1=1，且n为奇数时，an+1=2an，n为偶数时，an+1=an+1，n∈N*．（1）求a2，a3并证明数

已知数列{an}满足：a1=1，且n为奇数时，an+1=2an，n为偶数时，an+1=an+1，n∈N*．（1）求a2，a3并证明数列{a2n-1+1}为等比数列；（2）求数列{an}的前2n+1项和S2n+1．

（1）a2=2a1=2，a3=a2+1=3，
∵a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1，
∴a2n+1+1=2（a2n-1+1），
∴数列{a2n-1+1}为公比是2的等比数列；
（2）S2n+1=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n）+a2n+1+a2n+1
=3a1+3a3+…+3a2n-1+a2n+1
由（1）知，
∴a2n?1+1＝2n，
∴a2n?1＝2n?1
∴S2n+1＝3[(2?1)+(22?1)+…+(2n?1）]+a2n+1＝3(2
1?2n
1?2 ?n)+2n+1?1=2n+3-3n-7

a2=a1+1/4=a+1/4. a3=(1/2)a2=a/2+1/8. b1=a1-1/4≠0. b=a<2n+1>-1/4=(1/2)a<2n>-1/4 =(1/2)[a<2n-1>+1/4]-1/4 =(1/2)[a<2n-1>-1/4] =(1/2)bn, ∴{bn}是等比数列。