已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）证明{an+1}是等比

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）证明{an+1}是等比数列，并求an；
（Ⅲ）若bn=（2n+1）an+2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn．

（I）∵Sn=2an-n，
当n=1时，由S1=2a1-1，可得a1=1
当n=2时，由S2=a1+a2=2a2-2，可得a2=3
当n=3时，由S3=a1+a2+a3=2a3-3，可得a3=7
证明：（II）∵Sn=2an-n
∴Sn-1=2an-1-（n-1）
两式相减可得，an=2an-1+1，a1+1=2
∴an+1＝2(an?1+1)
所以{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴an=2n-1
解：（III）∵bn=（2n+1）an+2n+1
∴bn=（2n+1）2n
∴Tn=3?2+5?22+…+（2n+1）?2n
2Tn=3?22+5?23+…（2n-1）?2n+（2n+1）?2n+1
两式相减可得，-Tn=3?2+2（22+23+…+2n）-（2n+1）?2n+1
=6+2×
4(1?2n?1)
1?2 ?(2n+1)?2n+1=2n+1（1-2n）-2
∴Tn=2+（2n-1）2n+1

（1）n=1 时，a1=s1=1/2*a1^2+1/2*a1 ，解得 a1=1 ， 当 n>=2 时，an=sn-s(n-1)=1/2*an^2+1/2*an-1/2*[a(n-1)]^2-1/2*a(n-1) ， 化简得 [an+a(n-1)]*[an-a(n-1)-1]=0 ， 由于｛an｝是正项数列，因此 an+a(n-1)>0 ， 所以 可得 an-a(n-1)=1 ， 这说明｛an｝是首项为 1 ，公差为 1 的等差数列， 因此 an=n 。 （2）由（1）可得 a1= 1，a2=2 ，a3=3 ，a4=4 。