设函数f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．

设函数f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
g1（x）＝g（x），gn＋1（x）＝g（gn（x）），n∈N＋，求gn（x）的表达式；如果不用数学归纳法，该怎么做？

g(x)=g1(x)=x/(1+x)
gn+1(x)=gn(x)/(1+gn(x))
两边同取“倒数”：
1/gn+1(x)=1+1/gn(x)
{1/gn(x)}是等差数列
1/gn(x)=1/g1(x)+(n-1)*1=n+1/x
gn(x)=x/(nx+1)

由题设得，g（x）= x 1+x （x≥0）， （ⅰ）由已知g1（x）= x 1+x ， g2（x）=g（g1（x））= x 1+x 1+ x 1+x = x 1+2x ， g3（x）= x 1+3x ，… 可得gn（x）= x 1+nx ． 下面用数学归纳法证明．①当n=1时，g1（x）= x 1+x ，结论成立． ②假设n=k时结论成立，即gk（x）= x 1+kx ， 那么n=k+1时，gk+1（x）=g（gk（x））= x 1+kx 1+ x 1+kx = x 1+(k+1)x ，即结论成立． 由①②可知，结论对n∈n+成立． （ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥ ax 1+x 恒成立． 设φ（x）=ln（1+x）- ax 1+x （x≥0），则φ′（x）= 1 1+x - a (1+x)2 = x+1?a (1+x)2 ， 当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立）， ∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增， 又φ（0）=0， ∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立． ∴当a≤1时，ln（1+x）≥ ax 1+x 恒成立，（仅当x=0时等号成立） 当a＞1时，对x∈（0，a-1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a-1]上单调递减， ∴φ（a-1）＜φ（0）=0，即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0， 故知ln（1+x）≥ ax 1+x 不恒成立， 综上可知，实数a的取值范围是（-∞，1]． （ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）= 1 2 + 2 3 +…+ n n+1 ， n-f（n）=n-ln（n+1）， 比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n-ln（n+1） 证明如下：上述不等式等价于 1 2 + 1 3 +…+ 沉默小辉tn5 | 发布于2014-10-19 23:07 评论