分别以Rt三角形acd的边ad,ac,cd为直径画半圆。求证:所得的两个月案AGCE和DHCF的面

分别以Rt三角形acd的边ad,ac,cd为直径画半圆。求证:所得的两个月案AGCE和DHCF的面积之和等于Rt三角形ACD的面积。

图案AGCE和DHCF的面积=半圆ACE面积+半圆CDF面积+三角形ACD面积-半圆ACD面积
　　 =1/2π*(1/2AC)平方+1/2π*(1/2CD)平方+1/2AC*CD-1/2π*(1/2根号AC平方+CD平方)平方=1/2AC*CD 又因为等腰RT三角形ACD=1/2AC*CD
　　 所以图案AGCE和DHCF的面积=等腰RT三角形ACD面积
另一种 设ac为x，ad为y，cd为z
Sace=1/2π(x/2)^2
Sabc=1/2π(y/2)^2
Scdf=1/2π(z/2)^2
因为直角三角形所以x^2+z^2=y^2
所以俩小的加起来等于那个大的
所以两个月牙的面积就等于等腰三角形的面积

证明 设ad=2r ∵△acd是直角rt三角形 ∴ac=cd=√2r 以ad,ac,cd为直径画半圆 ∴半圆ace面积=半圆cdf面积=1/2*π*(√2r/2)²=πr²/4 半圆acd面积=1/2*π*(2r/2)²=πr²/2 rt△acd面积=1/2*ac*cd=r² ∴弓形acg面积+弓形cdh面积=半圆acd面积-rt△acd面积=πr²/2-r²=(π/2-1)r² ∴阴影面积=半圆ace面积+半圆cdf面积-(弓形acg面积+弓形cdh面积) =2*πr²/4-(π/2-1)r² =r² =rt△acd面积