将n个球随机放入N个盒中,并且每个球放入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的数学期望(需要详细过程)
答案:1 悬赏:10
解决时间 2021-11-13 06:50
- 提问者网友:嗝是迷路的屁
- 2021-11-12 20:16
将n个球随机放入N个盒中,并且每个球放入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的数学期望(需要详细过程)
最佳答案
- 二级知识专家网友:摆渡翁
- 2021-11-12 21:05
定义随机变量Xi如下:当第i个盒子中有球时
Xi=1,
当第i个盒子中无球时:Xi=0
(i=1,2,3,...N)
则Y=X1+X2+X3+...+XN 就是有球的盒子的个数.
由于每个球放进该盒子的概率为:1/N.而不放入该盒子的概率为:(1-1/N).
每个是否放入该盒子相互独立,故N个球均不放入该盒子的概率为:(1-1/N)^N, (1)
而至少有一个球放入该盒子的概率
为:1-(1-1/N)^N. (2)
由此得到Xi的分布律:
P{Xi=0}=(1-1/N)^N,
P{Xi=1}=1-(1-1/N)^N.
由数学期望的性质:
故E(Xi)=0*(1-1/N)^N+1*[1-(1-1/N)^N]
=1-(1-1/N)^N.
(i=1,2,3,...N)
而E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+...+E(XN)
=N*[1-(1-1/N)^N]
即为所求.
Xi=1,
当第i个盒子中无球时:Xi=0
(i=1,2,3,...N)
则Y=X1+X2+X3+...+XN 就是有球的盒子的个数.
由于每个球放进该盒子的概率为:1/N.而不放入该盒子的概率为:(1-1/N).
每个是否放入该盒子相互独立,故N个球均不放入该盒子的概率为:(1-1/N)^N, (1)
而至少有一个球放入该盒子的概率
为:1-(1-1/N)^N. (2)
由此得到Xi的分布律:
P{Xi=0}=(1-1/N)^N,
P{Xi=1}=1-(1-1/N)^N.
由数学期望的性质:
故E(Xi)=0*(1-1/N)^N+1*[1-(1-1/N)^N]
=1-(1-1/N)^N.
(i=1,2,3,...N)
而E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+...+E(XN)
=N*[1-(1-1/N)^N]
即为所求.
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