我国的“嫦娥三号”探月卫星将实现“月面软着陆”，该过程的最后阶段是：着陆器离月面h高时速度减小为零

我国的“嫦娥三号”探月卫星将实现“月面软着陆”，该过程的最后阶段是：着陆器离月面h高时速度减小为零，为防止发动机将月面上的尘埃吹起，此时要关掉所有的发动机，让着陆器自由下落着陆．已知地球质量是月球质量的81倍，地球半径是月球半径的4倍，地球半径R 0＝6.4×106 m，地球表面的重力加速度g 0＝10 m/s2 ．不计月球自转的影响（结果保留两位有效数字）．（1）若题中h=3.2m，求着陆器落到月面时的速度大小；（2）由于引力的作用，月球引力范围内的物体具有引力势能．理论证明，若取离月心无穷远处为引力势能的零势点，距离月心为r的物体的引力势能E p＝?GMmr，式中G为万有引力常数，M为月球的质量，m为物体的质量．求着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围所需的最小速度．

（1）着陆器做近似地球表面的自由落体运动，设着陆器落到月面时的速度大小为v，月球表面物体自由下落加速度为g，故：
v2=2gh①
设月球质量为M，半径为R，忽略月球自转，在月球表面附近质量为m的物体满足：

GMm
R2 ＝mg②
同理，设地球质量为M0，半径为R0，有：

GM0m

R 2
0
＝mg0③
由①②③整理得，v=



2g0h

MR 2
0

M0R2 =



2×10×3.2×
1×42
81×12 m/s＝3.56m/s
设着陆器至少以速度v0起飞方可冲出月球引力场，则由能量关系得：

1
2
mv 2
0
-
GMm
R =0
由①②④并代入数据得：v0=2.5×103m/s
答：（1）着陆器落到月面时的速度大小为3.56m/s
（2）着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围所需的最小速度为2.5×103m/s

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