求一极限:lim[x→0][ntan(1/n)]^n^2
答案:3 悬赏:50
解决时间 2021-01-07 09:22
- 提问者网友:沉默菋噵
- 2021-01-06 22:20
求一极限:lim[x→0][ntan(1/n)]^n^2
最佳答案
- 二级知识专家网友:神鬼未生
- 2021-01-06 23:08
百度上给的答案太麻烦,这道题目可以在十秒内出答案。
不过先需要你理解
n趋向无穷时,1/n趋向于0;
这里我们 记住一个泰勒公式的前几项:
tanx=x+1/3*(x^3)+o(x^3);
于是tan(1/n)=1/n+1/3*((1/n)^3)+o((1/n)^3);
于是底就可以化简为(1+1/(3*n^2))
底趋向于1,指数趋向于无穷,这是两个重要极限之一。于是可解。
再看你的解法,思想很好,转换为ln,
lim[x→0][lntanx-lnx]/x^2——这部也没有错误,结果算错了而已。
[lntanx-lnx]/x^2=[ln(tanx/x)]/x^2;
其中,tanx/x~1+1/3*(x^2)。于是ln(tanx/x)~1/3*(x^2)
极限等于1/3
不要忘记是取了ln,所以原极限=e^(1/3).
不过先需要你理解
n趋向无穷时,1/n趋向于0;
这里我们 记住一个泰勒公式的前几项:
tanx=x+1/3*(x^3)+o(x^3);
于是tan(1/n)=1/n+1/3*((1/n)^3)+o((1/n)^3);
于是底就可以化简为(1+1/(3*n^2))
底趋向于1,指数趋向于无穷,这是两个重要极限之一。于是可解。
再看你的解法,思想很好,转换为ln,
lim[x→0][lntanx-lnx]/x^2——这部也没有错误,结果算错了而已。
[lntanx-lnx]/x^2=[ln(tanx/x)]/x^2;
其中,tanx/x~1+1/3*(x^2)。于是ln(tanx/x)~1/3*(x^2)
极限等于1/3
不要忘记是取了ln,所以原极限=e^(1/3).
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- 1楼网友:污到你湿
- 2021-01-07 00:25
lim (lntanx-lnx)/x^2 洛必达法则
=lim (sec^2x/tanx-1/x)/2x 通分化简
=lim (xsec^2x-tanx)/(2x^2tanx) 分母tanx等价于x,分母等价于2x^3;
分子=x(1+tan^2x)-tanx=x-tanx+xtan^2x
=lim (x-tanx)/2x^3+lim xtan^2x/(2x^3) 第一项再用洛必达法则
=lim (1-sec^2x)/6x^2+lim x^3/(2x^3)
=lim -tan^2x/6x^2+1/2
=1/3。
原极限为e^(1/3)。
不知道你是怎么计算的,将过程写出来才能检查你的错误啊。
=lim (sec^2x/tanx-1/x)/2x 通分化简
=lim (xsec^2x-tanx)/(2x^2tanx) 分母tanx等价于x,分母等价于2x^3;
分子=x(1+tan^2x)-tanx=x-tanx+xtan^2x
=lim (x-tanx)/2x^3+lim xtan^2x/(2x^3) 第一项再用洛必达法则
=lim (1-sec^2x)/6x^2+lim x^3/(2x^3)
=lim -tan^2x/6x^2+1/2
=1/3。
原极限为e^(1/3)。
不知道你是怎么计算的,将过程写出来才能检查你的错误啊。
- 2楼网友:罪歌
- 2021-01-06 23:33
没有过程,不知道你是怎么得到-1/6的错误结果。
lim[x→0][lntanx-lnx]/x^2
= lim[x→0][sec^2(x)/tanx - 1/x]/(2x)
= lim[x→0][1/(sinx cosx) - 1/x]/(2x)
= lim[x→0][x - sinx cosx]/[(2x^2)sinx cosx]
= lim[x→0][x - 0.5sin2x ]/[(2x^2)sinx cosx]
= lim[x→0][1 - cos2x ]/(6x^2), 作sinx~x, cosx ~1 等量代换后再求导
= lim[x→0][2sin2x]/(12x)
= 1/3
lim[x→0][lntanx-lnx]/x^2
= lim[x→0][sec^2(x)/tanx - 1/x]/(2x)
= lim[x→0][1/(sinx cosx) - 1/x]/(2x)
= lim[x→0][x - sinx cosx]/[(2x^2)sinx cosx]
= lim[x→0][x - 0.5sin2x ]/[(2x^2)sinx cosx]
= lim[x→0][1 - cos2x ]/(6x^2), 作sinx~x, cosx ~1 等量代换后再求导
= lim[x→0][2sin2x]/(12x)
= 1/3
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