关于排列组合的题

甲已丙丁四个人写卡片ABCD相互赠送对方！求每个人都没得到自己所写卡片的概率？谢谢帮忙解答一下！

假设甲已丙丁为abcd四个人，写了ABCD

1.拿到的都不是自己的：
先来看a，a拿到有B，C，D三种可能，是等价的，不妨设a拿到了B，
再来看b,b若拿A，则c,d只能拿D，C，一种情况
b若不拿A,则拿C，D是等价的，不妨设拿了C
d不能拿D，BC又被人拿了，只能拿A，c拿D，一种情况
于是共有y(0)=3*（1+2*1）=9种

2.只有一个人拿到自己的，拿到自己的那个人无论是abcd都是等价的，不妨设a拿到了自己的
于是看b,b不能拿B，也不能拿A，于是拿C或D，也都是等价的，不妨设拿的是C
则看d，d不拿D，也不能拿AC，只能拿B，于是c拿D，一种情况
于是共有y(1)=4*(2*1)=8种

3.恰有两人拿了自己的，则另两个人只能互换着拿，在拿自己的两人固定的情况下只有一种情况
于是共有y(2)=C(4,2)*1=6种

4.有三人拿了自己的，第4个人也只能拿自己的，所以恰有三人拿到不可能
y(3)=0

5.有四人拿了自己的，只有一种情况abcd拿ABCD
y(4)=1

验证得y(0)+y(1)+y(2)+y(3)+y(4)=24=A(4,4)成立