请证明n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除
答案:2 悬赏:50
解决时间 2021-02-18 14:52
- 提问者网友：爱你等于作孽
- 2021-02-18 07:16
请证明n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除
最佳答案
- 二级知识专家网友：山鬼偶尔也合群
- 2021-02-18 08:00
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，Sk能被9整除，则Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=Sk+(k+3)3-k3=Sk+9(k3+3k+3)
由归纳假设知Sk+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
②假设，n=k时，Sk能被9整除，则Sk+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=Sk+(k+3)3-k3=Sk+9(k3+3k+3)
由归纳假设知Sk+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
全部回答
- 1楼网友：猎杀温柔
- 2021-02-18 08:20
首先验证n=1时成立，只需证明(n+3)³-n³能被9整除即可
利用立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)=(a-b)[(a-b)²+3ab]
将a=n+3,b=n代入得：(n+3)³-n³=3*[3²+3n(n+3)]=9[3+n(n+3)]
显然能被9整除，得证。
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