关于三角形中线不等式

关于三角形中线不等式

问题 设a,b,c是表示△ABC的三边长，la,lb,lc表示△ABC相应的中线长。 求证 (1/a+1/b+1/c)*(la+lb+lc)>15/2. (1) 设P是△ABC平面上任一点，欲证Janous不等式，只需证 (1/a+1/b+1/c)*(PA+PB+PC)>5. (2) 下面给出初等证法 证 为证(2)式首先给出两个引理. 引理1(费马点结论) 设P是△ABC平面上任一点, 当max(A,B,C)≤120°时 (PA+PB+PC)^2≥[a^2+b^2+c^2+4√3△]/2 当A=max(A,B,C)>120°时 PA+PB+PC≥b+c 引理2 在△ABC中，设A=max(A,B,C)≤120°时, 则4√3△≥3bc. 简证 因为A=max(A,B,C)≤120°,所以60<A≤120°. 故sinA≥(√3)/2，由面积公式即得:4√3△≥3bc. 下分两步证明 (Ⅰ)A=max(A,B,C)≤120°时，我们只需证明 (a^2+b^2+c^2+3bc)*(bc+ca+ab)^2>50(abc)^2 (3) 因为)(bc+ca+ab)^2≥3abc(a+b+c)， 所以欲证(3)式只需证 3(a^2+b^2+c^2+3bc)*(a+b+c)>50abc 上式展开为 3a^3+3a^2*(b+c)+3a(b^2+c^2)-41abc+3(b^3+c^3)+12bc(b+c)>0 <==> 12a^3+12a^2*(b+c)-35a(b+c)^2+15(b+c)^3+(47a-3b-3c)*(b-c)^2>0 显然47a-(b+c)>0,所以只需证 12a^3+12a^2*(b+c)-35a(b+c)^2+15(b+c)^3>0 (4) 记x=(b+c)/a,(4)式转化为在2≥x>1求证 f(x)=15x^3-35x^2+12x+12>0 (5) 易证在2≥x>1，f(x)>0. (Ⅱ)A=max(A,B,C)>120°时,即证 (b+c)*(bc+ca+ab)>5abc (6) (6)<==> a(b-c)^2+bc(b+c-a)>0,显然成立。 关于德雷纳特解答中的一个引理的证明。 定理 设P是△ABC平面上任一点，R,r分别△ABC的外接圆与内切圆半径.则 (PA+PB+PC)^2≥4r(4R+r) (1) 为证这个定理首先给出以下两个引理. 引理1 设k,m,n中至少有两个正数，且m+n>0，n+k>0，k+m>0，mn+nk+km>0,则对任意实数x,y,z总有 (kx+my+nz)^2≥(mn+nk+km)[2(yz+zx+xy)-(x^2+y^2+z^2)] (2) 当且仅当x/(m+n)=y/(n+k)=z/(k+m)时等号成立. 引理1简证如下 (2)展开整理为 (k+m)*(n+k)x^2+(m+n)*((k+m)y^2+(n+k)*(m+n)z^2≥ 2k(m+n)yz+2m(n+k)zx+2n(k+m)xy 上式运用配方法化简为 {x√[(k+m)*(n+k)]-yn√[(k+m)/(n+k)]-zm√[(n+k)/(k+m)]}^2 +(mn+nk+km)*{y*√[(k+m)/(n+k)-z*√[(n+k)/(k+m)]}^2≥0. 由题设条件即知上式成立。而且易验证取等条件。 引理2(林鹤一不等式) 设P是△ABC平面上任一点，BC=a,CA=b,AB=c.则 PB*PC/(bc)+PC*PA/(ca)+PA*PB/(ab)≥1 (3) 林鹤一不等式大家都熟知，可用矢量法或三角形惯性矩不等式可证，这里省略了。 有了上述两个引理，那么不等式就好证了。 注意到熟知三角形恒等式: 2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)=4r*(4R+r) 令k=PA/a,m=PB/b,n=PC/c,x=a,y=b,z=c,代入不等式(2)，再由引理2即得不等式(1).