数学，可微是可导的充要条件，这是怎么证明的？
答案:2 悬赏:40
解决时间 2021-02-22 16:41
- 提问者网友：白柏唇蜜
- 2021-02-22 06:15
数学，可微是可导的充要条件，这是怎么证明的？
最佳答案
- 二级知识专家网友：為→妳鎖鈊
- 2021-02-22 06:55
必要性：设f(x)在点x0处可微，由定义：
△y=f(x0+△x)-f(x0)=A△x+o(△x)
于是
(f(x0+△x)-f(x0))/△x=A+o(△x)/△x
令△x→0,得f'(x0)=A，所以f(x)在x0处可导
充分性：设f(x0)在x0处可导，有：
f'(x0)=lim（△x→0)(△y/△x)
由极限的性质：
(△y/△x)=f'(x0)+a(△x)
其中lim（△x→0)(a△x)=0，从而
△y=f'(x0)△x+a(△x)△x
因为lim（△x→0)(a(△x)△x/△x)=lim（△x→0)(a△x)=0
所以△y=A△x+o(△x)
其中A=f'(x0)，因此f(x)在x0处可微，且
dy(x0)=A△x=f'(x0)△x
△y=f(x0+△x)-f(x0)=A△x+o(△x)
于是
(f(x0+△x)-f(x0))/△x=A+o(△x)/△x
令△x→0,得f'(x0)=A，所以f(x)在x0处可导
充分性：设f(x0)在x0处可导，有：
f'(x0)=lim（△x→0)(△y/△x)
由极限的性质：
(△y/△x)=f'(x0)+a(△x)
其中lim（△x→0)(a△x)=0，从而
△y=f'(x0)△x+a(△x)△x
因为lim（△x→0)(a(△x)△x/△x)=lim（△x→0)(a△x)=0
所以△y=A△x+o(△x)
其中A=f'(x0)，因此f(x)在x0处可微，且
dy(x0)=A△x=f'(x0)△x
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- 1楼网友：随心随缘不随便
- 2021-02-22 07:15
可微
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