标准正态分布的概率密度函数是P(x)= · (x∈R).（1）求证：P（x）是偶函数；（2）求P（x）的最大值；（

标准正态分布的概率密度函数是P(x)= · (x∈R).（1）求证：P（x）是偶函数；（2）求P（x）的最大值；（

（1）证明略（2）（3）当x＜0时，P(x)递增.当x＞0时，P（x）递减.

（1）证明 对任意x∈R，有P(-x)= ==P(x),∴P(x）为偶函数. （2）解 令t=,当x=0时，t=0,e t =1. ∵e t 是关于t的增函数，当x≠0时，t＞0，e t ＞1. ∴当x=0，即t=0时，=e t 取最小值. ∴当x=0时，P（x）=取得最大值. (3)解 任取x 1 ＜0，x 2 ＜0，且x 1 ＜x 2 , 有＞,∴＜. ∴P(x 1 )＜P(x 2 ),即当x＜0时，P(x)递增. 又P(x)为偶函数，由偶函数性质得，当x＞0时，P（x）递减.