伴随矩阵的求法

伴随矩阵的求法

首先介绍 “代数余子式” 这个概念：
设 D 是一个n阶行列式，aij （i、j 为下角标）是D中第i行第j列上的元素。在D中 把aij所在的第i行和第j列划去后，剩下的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 的“余子式”，记作 Mij。把 Aij = (-1)^(i+j) * Mij 称作元素 aij 的“代数余子式”。 （符号 ^ 表示乘方运算）

其次，介绍伴随矩阵的概念
设 E 是一个n阶矩阵，其矩阵元为 aij。则E的伴随矩阵E'为
A11 A12 …… A1n
A21 A22 …… A2n
……
An1 An2 …… Ann
的转置矩阵。

E'中的矩阵元 Aij 就是上面介绍的 代数余子式。
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对于三阶矩阵
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

首先求出 各代数余子式
A11 = (-1)^2 * (a22 * a33 - a23 * a32) = a22 * a33 - a23 * a32
A12 = (-1)^3 * (a21 * a33 - a23 * a31) = -a21 * a33 + a23 * a31
A13 = (-1)^4 * (a21 * a32 - a22 * a31) = a21 * a32 - a22 * a31
A21 = (-1)^3 * (a12 * a33 - a13 * a32) = -a12 * a33 + a13 * a32
……
A33 = (-1)^6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21

然后伴随矩阵就是
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
的转置 矩阵 AT（T为上标）