求不定积分∫xlnx/((1+x∧2)∧3/2)dx

求不定积分∫xlnx/((1+x∧2)∧3/2)dx

∫[xlnx/(1+x^2)^3/2]dx
=-lnx/√(1+x^2)+∫dx/[x√(1+x^2)] (应用分部积分法)
=-lnx/√(1+x^2)+∫csctdt (令x=tant)
=-lnx/√(1+x^2)-ln│csct+cott│+C (C是常数)
=-lnx/√(1+x^2)-ln│[1+√(1+x^2)]/x│+C；
∫{(1+lnx)/[2+(xlnx)^2]}dx
=∫d(xlnx)/[2+(xlnx)^2]
=(1/√2)∫d(xlnx/√2)/[1+(xlnx/√2)^2]
=(1/√2)arctan(xlnx/√2)+C
追问：这个不对的
追答：答案是啥∫[xlnx/(1+x^2)^3/2]dx
=-lnx/√(1+x^2)+∫dx/[x√(1+x^2)] (应用分部积分法)
=-lnx/√(1+x^2)+∫csctdt (令x=tant)
=-lnx/√(1+x^2)-ln│csct+cott│+C (C是常数)
=-lnx/√(1+x^2)-ln│[1+√(1+x^2)]/x│+C；
追问：对，这个答案是对的能不能把∫csctdt的原函数求解的步骤写一下啊
追答：你没发现后半部分就是你之前提问的那道题吗？
追问：是的啊。我知道。但是后半部分不像你刚才那样写，而是用ln|csct-cott|+C来求，应该怎样写
追答：∫cscdx=∫dx/sinx
=∫sinx/sin²(x)dx
=-∫d(cosx)/(1-cos²(x))
=-1/2∫(1/(1-cosx)+1/(1+cosx))d(cosx)
=1/2ln|(1-cosx)/(1+cosx)|+C 到这里就跟之前的答案一样了
=ln|(1-cosx)/sinx|+C （根号里面上下同时乘1-cosx）
=ln|cscx-cotx|+C
追问：ln│csct+cott│+C
=-ln│[1+√(1+x^2)]/x│+C 这个是怎么来的，这个不会化简
追答：x=tant，cott=1/x，csc²t=1+cot²t=1+1/x²
csct+cott=√1+1/x²+1/x=(√x²+1+1)/x
追问：好的，非常感谢*^_^*