求cosx 的2n阶带拉格朗日余项麦克劳林展开式

求cosx 的2n阶带拉格朗日余项麦克劳林展开式

你定义有点搞混了，你这个不是2n阶的，是n阶的展开式

你说的应该是图上这个：

因为cosx在x=0点奇数次求导的话,变成sinx|x=0 = 0,所以它只有偶数项.故它的展开式分母都是2的倍数的阶乘，你肯定以为这个是2n阶导数了。
因为你这个式子求到了2n次,所以余项表示成第2n+1个式子,R2n+1的2n+1只是一个下标表示,说明你是从第2n+1项开始表示的余项.
因为接下去2n+1次求导在x=0处的值为0,所以用2n+2次的项表示.
那R2n+1里面的（2n+2）!和x^2n+2就很好理解了，这个是2n+2次展开的公式

追问：还有一点不怎么明白，求到2n次导后，余项不是对θx求2n+1次导?cosθx的奇次导不为零吧?
追答：因为cosx的奇数项都是为0
原式可以表达成cosx=p(x)+Rn(x)或者p(x)+0+Rn(x)
p(x)表示展开式前面一堆东西，我就不写了
前面式子里的Rn(x)就是你说的（-1）^n*[(sin(θx)/(2n+1)！]x^2n+1

后面式子里的Rn(x)就是R(2n+1)x=(-1)^n+1[(cos(θx)/(2n+2)！]x^2n+2

根据泰勒公式，我们知道，展开式越多，误差越小，所以，我们应该展开到2n+1项，也就是为0的那项，余项才比较精确。

我举个例子，假设我们展开到2阶
也就是cosx=1-1/2*x^2+Rn(x)
按你说的展开就等于cosx=1-1/2*x^2-[sin(θx)/3！]x^3
按书上的就是cosx=1-1/2*x^2+[cos(θx)/4！]x^4
0<θ<1的
我们假设取x=π/2
cosπ/2=0
按你说的公式=1-1/2*(π/2)^2-[sin(θ*π/2)/3！](π/2)^3
1-1/2*(π/2)^2=-0.233
0<θ<1
[sin(θ*π/2)/3！](π/2)^3>0的
-[sin(θ*π/2)/3！](π/2)^3<0
所以1-1/2*(π/2)^2-[sin(θ*π/2)/3！](π/2)^3<-0.233
按书上的公式+[cos(θ*π/2)/4！]（π/2）^4>0
1-1/2*(π/2)^2+[cos(θ*π/2)/4！]（π/2）^4更接近于0
其他的你自己可以再算下。所以我们sinx一般取奇数余项，cosx取偶数余项