对一切自然数N，X的N+1次方加（X+1）的2N-1次方能被X^2+x+1整除

答案:3 悬赏:20

解决时间 2021-02-23 09:36

提问者网友：樱花树下最美的约定
2021-02-22 11:08

最佳答案

二级知识专家网友：為→妳鎖鈊
2021-02-22 11:52

∵X的N+1次方加（X+1）的2N-1次方
=(x+1)^(2N)/(x+1)+x^(N+1)
=[(x^2+2x+1)^N+(x+1)*x^(N+1)]/(x+1)
={[(x^2+x+1)+x]^n+(x+1)*x*x^N}/(x+1)
=[(x^2+x+1)^n+nx(x^2+x+1)^(n-1)+....+n(x^2+x+1)*x^(n-1)+x^n+(x^2+x)*x^n]/(x+1)
=[(x^2+x+1)^n+nx(x^2+x+1)^(n-1)+....+n(x^2+x+1)*x^(n-1)+(x^2+x+1)*x^n]/(x+1)
分子每一项都有x^2+x+1
∴能被X^2+x+1整除
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

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1楼网友：余生继续浪
2021-02-22 13:23

n=1时原式=x^2+x+1,能被x^2+x+1整除。假设n=k(k∈N+)时x^(k+1)+(x+1)^(2k-1)能被x^2+x+1整除，那么 x^(k+2)+(x+1)^(2k+1) =x*x^(k+1)+(x^2+2x+1)(x+1)^(2k-1) =x[x^(k+1)+(x+1)^(2k-1)]+(x^2+x+1)(x+1)^(2k-1) 能被x^2+x+1整除， ∴对任意正整数n,命题成立。注：n=0时原式=x+(x+1)^(-1),不能被x^2+x+1整除。

2楼网友：疯山鬼
2021-02-22 12:27

∵x的n+1次方加（x+1）的2n-1次方 =(x+1)^(2n)/(x+1)+x^(n+1) =[(x^2+2x+1)^n+(x+1)*x^(n+1)]/(x+1) ={[(x^2+x+1)+x]^n+(x+1)*x*x^n}/(x+1) =[(x^2+x+1)^n+nx(x^2+x+1)^(n-1)+....+n(x^2+x+1)*x^(n-1)+x^n+(x^2+x)*x^n]/(x+1) =[(x^2+x+1)^n+nx(x^2+x+1)^(n-1)+....+n(x^2+x+1)*x^(n-1)+(x^2+x+1)*x^n]/(x+1) 分子每一项都有x^2+x+1 ∴能被x^2+x+1整除希望能帮到你，祝学习进步o(∩_∩)o

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