用罗尔定理证方程x^3-3x+1=0在（0,1）内有且只有一个实根
答案:1 悬赏:10
解决时间 2021-03-14 13:26
- 提问者网友：山高云阔
- 2021-03-13 23:53
用罗尔定理证方程x^3-3x+1=0在（0,1）内有且只有一个实根
最佳答案
- 二级知识专家网友：鱼芗
- 2021-03-14 00:39
设f(x)=x^3-3x+1
则，f(0)=1＞0
f(1)= -1＜0
根据零点定理，
f(x)在（0，1）内至少有一个零点。
下面证明唯一性，用反证法：
假设f(x)在（0，1）内至少有两个零点a＜b，
因为f(a)=f(b)=0
f(x)在[a，b]上满足罗尔定理的三个条件，
根据罗尔定理，存在ξ∈(a，b)
使得：f '(ξ)=0
f '(ξ)=3ξ^2-3=3(ξ^2-1)＜0
所以，f '(ξ)=0不成立，矛盾。
所以假设f(x)在（0，1）内至少有两个零点错误。
于是，f(x)在（0，1）内只有一个零点。
即方程在（0，1）内只有一个实根，
则，f(0)=1＞0
f(1)= -1＜0
根据零点定理，
f(x)在（0，1）内至少有一个零点。
下面证明唯一性，用反证法：
假设f(x)在（0，1）内至少有两个零点a＜b，
因为f(a)=f(b)=0
f(x)在[a，b]上满足罗尔定理的三个条件，
根据罗尔定理，存在ξ∈(a，b)
使得：f '(ξ)=0
f '(ξ)=3ξ^2-3=3(ξ^2-1)＜0
所以，f '(ξ)=0不成立，矛盾。
所以假设f(x)在（0，1）内至少有两个零点错误。
于是，f(x)在（0，1）内只有一个零点。
即方程在（0，1）内只有一个实根，
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