已知a,b,c都是正数，且ab＋bc+ca=1求证a+b+c≥√3
答案:2 悬赏:70
解决时间 2021-03-05 06:52
- 提问者网友：追忆成伤
- 2021-03-04 23:28
已知a,b,c都是正数，且ab＋bc+ca=1求证a+b+c≥√3
最佳答案
- 二级知识专家网友：我的任性你不懂
- 2021-03-04 23:56
ab≤(a^2+b^2)/2 bc≤(b^2+c^2)/2
ca≤(c^2+a^2)/2
三个相加得ab+bc+ca=1≤a^2+b^2+c^2
∴a^2+b^2+c^2≥1
不等式两边同时加上2×(ab+bc+ca)
所以(a+b+c)^2≥1+2=3
所以a+b+c≥√3
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我在沙漠中喝着可口可乐，唱着卡拉ok，骑着狮子赶着蚂蚁，手中拿着键盘为你答题！！！
ca≤(c^2+a^2)/2
三个相加得ab+bc+ca=1≤a^2+b^2+c^2
∴a^2+b^2+c^2≥1
不等式两边同时加上2×(ab+bc+ca)
所以(a+b+c)^2≥1+2=3
所以a+b+c≥√3
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- 1楼网友：不羁的心
- 2021-03-05 01:16
∵(a-b)²=a²+b²-2ab>=0
∴a²+b²>=2ab①
同理a²+c²>=2ac②,b²+c²>=2bc③
①+②+③得 2(a²+b²+c²)>=2(ab+ac+bc)
∴a²+b²+c²>=ab+ac+bc
(a+b+c)²=(a²+b²+c²)+2(ab+ac+bc)>=(ab+ac+bc)+2(ab+ac+bc)=3(ab+ac+bc)=3
∵a+b+c>0
∴a+b+c>=√3
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