利用向量的数量积证明对角线相等的平行四边形是矩形

利用向量的数量积证明对角线相等的平行四边形是矩形

设平行四边形ABCD
其中AC=BD。

证：向量AC=向量AB+向量BC (1)
向量BD=向量BA+向量AD （2）
两式两边平方得
AC^2=AB^2+BC^2+2AB*BC*COS(BAD) (3)
BD^2=BA^2+AD^2+2BA*AD*COS(ABC) (4)
因为AC=BD AD=BC COS(BAD)=-COS(ABC)
(3)-(4) 得
2COS(BAD)=0
所以角BAD=90°
得证

a+b+c+d=0,a+c=-(b+d),a^2+c^2+2a*c=b^2+d^2+2b*d,a*c-b*d=-1/2(a^2-b^2+c^2-d^2) 向量ac*向量bd=(a+b)*(b+c)=a*b+a*c+b^2+b*c=a*c+b*(a+b+c)=a*c+b*(-d)=-1/2(a^2-b^2+c^2-d^2) 选d