如图所示 在△ABC中 AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F求证AD⊥EF

如图所示 在△ABC中 AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F求证AD⊥EF

因为AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F点
所以,DE=DF

而∠ADE=90-∠DAE,∠ADF=90-∠DAF,∠DAE=∠DAF
所以,∠ADE=∠ADF

所以,AD是等腰三角形DEF顶角EDF的平分线,因此也是其底边EF的高
所以,AD⊥EF

∵∠ead ＝∠fda，∠dea＝dfa ∴∠eda＝∠fda ∵∠ead＝∠fda ∴de＝df 在△eod和△fod中 de＝df ∠edo＝∠fdo do＝do ∴△eod≌△fod ∴oe＝of,∠eod＝∠fod ∵∠eod＋∠fod＝180° ad垂直平分ef

设AD、EF交于G。依题意可知AEDF四点共圆∠EDA+∠EAD=∠EFA+∠FAG=90°,则∠AGF=90°故AD⊥EF

因为AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F点 所以,DE=DF 而∠ADE=90-∠DAE,∠ADF=90-∠DAF,∠DAE=∠DAF 所以,∠ADE=∠ADF 所以,AD是等腰三角形DEF顶角EDF的平分线,因此也是其底边EF的高 所以,AD⊥EF