最小线性相关组的列向量个数在什么情况下可以小于秩

最小线性相关组的列向量个数在什么情况下可以小于秩

向量组的秩是向量组的一个极大无关组所含向量的个数

当向量组的秩等于向量组所含向量个数时, 说明向量组本身就是其极大无关组, 即向量组线性无关
否则(向量组的秩小于向量组所含向量个数时)向量组线性相关.

也可以联系方程组解释
向量组a1,..,as 线性相关
<=> x1a1+...xsas = 0 有非零解
<=> 向量组a1,...,as的秩小于 s.

此时不宜用行列式解释, 因为向量组不一定构成方阵.

因为向量组a的秩为r，且ai1,ai2,...air是a的一个线性无关组，所以ai1,ai2,...air是a的一个最大线性无关组，所以ai1,ai2,...air ，b ,这r+1个向量必线性相关，否则，ai1,ai2,...air ，b ,这r+1个向量就是向量组a的一个线性无关组，因此a的秩大于r，这与已知a的秩为r相矛盾。 在你的证明中，因为ai1,ai2,...air线性无关，且向量组a的秩为r，所以ai1,ai2,...air,ai 这r+1个向量必线性相关（否则，向量组a的秩大于r），而ai1,ai2,...air 线性无关，故ai可以用ai2,...air,ai 线性表示 因此，ai1,ai2,...air是a的一个最大线性无关组。从而，a中任意r个线性无关向量组都是a的一个最大线性无关组。