数列(√1＋√2＋√3＋……＋√n)/√n

求证2√[n(n+1)]／3＜(√1＋√2＋√3＋……＋√n)/√n＜2（n+1)／3
注意，不要用数学归纳法，要是能够的话，请介绍一下√1＋√2＋√3＋……＋√n这一数列的有关性质证明，不胜感激！！！

证明：先证明一个引理，若数列F(n),G(n)满足F(n+1)-F(n)＞G(n+1)-G(n),且F（1）＞G(1),则对任意n均有F(n)＞G(n)成立，直接求和即可知此性质的证明是显然的，现利用此引理来证明不等式成立。
设：F(n)=√1＋√2＋√3＋……＋√n,G(n)=[2n√(n+1)]／3,则F(n+1)-F(n)=√(n+1),G(n+1)-G(n)=2/3*√(n+1)[√(n+1)(n+2)-n]，由于n^2+3n+9/4＞n^2+3n+2,所以3/2+n＞√(n+1)(n+2),即2/3*[√(n+1)(n+2)-n]＜1，即2/3*√(n+1)[√(n+1)(n+2)-n]＜√(n+1)，于是：F(n+1)-F(n)＞G(n+1)-G(n),又F(1)=1,G(1)=2√2/3＜1=F(1),于是由引理得2√[n(n+1)]／3＜(√1＋√2＋√3＋……＋√n)/√n成立，不等式的前半部分得证；
为证后半部分设H(n)=[2(n+1)√n]/3,H(n+1)-H(n)=2/3*√(n+1)[(n+2)-√(n+1)n],由于n^2+n+1/4＞n^2+n,所以n+1/2＞√n(n+1),即(n+2)-√n(n+1)＞3/2,于是2/3*√(n+1)[(n+2)-√(n+1)n]＞√(n+1),即H(n+1)-H(n)＞F(n+1)-F(n)，又H(1)=4/3＞1=F(1),于是由引理不等式后半部分得证。

那个数列求和的性质不太好弄吧！

用阿贝尔求和法，再放缩，解个不等式，两个不等式都可以这样做出来。

令根号=. . 令T=.n.则T前n项和=.1.+.2.+.3.+ +.n. T*T=1+2+3+ +n,则T*T前n项和=.n(n+1)/2.则(.1.+.2.+.3.+ +.n.)/.n.=.2n(n+1)./2 又因为n大与等于1，所以2*.n9n+1)./3小于.2n(n+1)./2小于2(n+1)/3 公式知道了，性质自己看

等于552，令根号=. . 令T=.n.则T前n项和=.1.+.2.+.3.+ +.n. T*T=1+2+3+ +n,则T*T前n项和=.n(n+1)/2.则(.1.+.2.+.3.+ +.n.)/.n.=.2n(n+1)./2 又因为n大与等于1，所以2*.n9n+1)./3小于.2n(n+1)./2小于2(n+1)/3