在椭圆 x²/9 + y²/4 = 1上动点P（x,y）与定点M（m,0）(0<m<3)的距离的最小值是1，求m?

答案:6 悬赏:20

解决时间 2021-02-06 10:57

提问者网友：乏味沐染
2021-02-05 19:35

快重奖

最佳答案

二级知识专家网友：冷眼_看世界
2021-02-05 20:10

m=√15/2 。

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1楼网友：荒唐后生
2021-02-06 00:48

9代入(1)式可得 5/M到P的距离可表示为 (x-m)^2+y^2大于等于1^2 即(x-m)^2+y^2-1大于等于0……(1) 而x，y又满足 (x^2)/9+(y^2)/4=1 将y^2=4-4(x^2)/

2楼网友：年轻没有失败
2021-02-05 23:48

由于点P(x,y)在椭圆上，令x=3cost,y=2sint, |PM|²=(3cost-m)²+(2sint)²=……=7(cost - 3m/7)² + 2 - 2m²/7 由于-1≤cost≤1且01,即7/3

3楼网友：為→妳鎖鈊
2021-02-05 22:48

设P（x0,y0）到定点M（m,0）的距离最小。 0＜m＜3,最小值在P（x0,y0）取得，MP⊥椭圆过P的切线。椭圆过P的切线方程：xx0／9+yy0/4＝1.斜率＝-4x0/9y0 MP斜率＝y0/（x0-m） ∴y0/（x0-m）×[-4x0/9y0]＝-1,y0≠0时。解得x0＝9m/5.注意x0≤3,m≤5/3.此时y0＝√（4-36m²/25）. |AP|＝2√（25-5m²）/5, 当5/3≤m＜3时，最小距离是3-m.（只有P（3,0）,MP⊥切线。此时y0=0）当5/3＞m＞0时， p(x,y)和定点M(m,0)(m>0)的距离的最小值＝2√（25-5m²）/5。现在距离的最小值=1 当5/3≤m＜3时。最小距离是3-m=1.m=2.m∈[5/3,3）.成立。当5/3＞m＞0时，最小距离是2√（25-5m²）/5=1.m＝√15/2.m不在（0，5/3）不成立。总之，只有一个m＝2,(0

4楼网友：年轻没有失败
2021-02-05 22:24

点M在椭圆内，椭圆上的点到点M的最小距离 = 1，相当于以点M为圆心，1为半径的圆和椭圆内切。 x^2/9 + y^2/4 = 1 2x/9 + 2yy'/4 = 0, y' = -4x/(9y) 是椭圆上的点(x,y)处切线的斜率。 (x-m)^2 + y^2 = 1, 2(x-m) + 2yy' = 0, y' = (m-x)/y是以点M为圆心，1为半径的圆上的点(x,y)处的切线的斜率。 (m-x)/y = -4x/(9y), x = 9m/5 y^2 = 1 - (x-m)^2 = 1 - (9m/5 - m)^2 = 1 - 16m^2/25 = 4[1 - x^2/9] = 4[1 - (9m/5)^2/9] = 4 - 36m^2/25, 20m^2/25 = 3, m^2 = 3*5/4, 又，m > 0. 所以， m = (15)^(1/2)/2

5楼网友：走，耍流氓去
2021-02-05 20:54

我用一种配方法求把椭圆的方程变一下 y^2/4=1-x^2/9 y^2=-4x^2/9+4 y=√（-4x^2/9+4) 所以点p的坐标可写为（x，√（-4x^2/9+4)）它和m的距离最小为1，那么距离的平方最小为1 距离的平方为(x-m)^2-4x^2/9+4 =x^2-2xm+m^2-4/9x^2+4 =(5/9x^2-2mx)+(m^2+4) =5/9(x-9/5m)^2+（-4/5m^2+4) 前面的5/9(x-9/5m)^2取最小值0时，原值为1 即-4/5m^2+4=1 解得m=±√15/2 由于0

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