分式方程的解法和技巧

分式方程的解法和技巧

解法1.
步骤一，通分；步骤二，划为整式；第三步，求解；第四步，检验x是否使原式分母等于零，等于零，原式无解。
解法二，
步骤一，化为比例式；步骤二，内项积=外项积，第三步，求出x，第四步，检验同解法一第四步。

1．一般法

所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。然后解这个整式方程。


解 原方程就是


方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。


2．换元法

换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。


分析 本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的


解 设x2＋x=y，原方程可变形为


解这个方程，得y1=－2，y2=1。

当y=－2时，x2＋x=－2。

∵δ＜0，∴该方程无实根；

当y=1时，x2＋x=1，

∴
经检验， 是原方程的根，所以原方程的根是 。

3．分组结合法

就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。



4．拆项法

拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。

例4 解方程


解 将方程两边拆项，得


即x=－3是原方程的根。

5．因式分解法

因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。


解 将各分式的分子、分母分解因式，得


∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得



检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。

6．配方法

配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。



∴x2±6x＋5=0，

解这个方程，得x=±5，或x=±1。

检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。

7．应用比例定理

上述例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。下面以合比定理为例来说明。


∴x（x2－3x＋2）－x（2x2－3x＋1）=0，

即 x（x2－1）=0，

∴x=0或x=±1。

检验知，x=1是原方程的增根。所以，原方程的根是x1=0，x2=－1。