利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵

利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵

解: (A,E) =
1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 -1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 -1 0 0 1 0
1 -1 -1 1 0 0 0 1

r4-r3,r3-r1,r2-r1
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 -2 -2 -1 1 0 0
0 -2 0 -2 -1 0 1 0
0 0 -2 2 0 0 -1 1

r4-r2
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 -2 -2 -1 1 0 0
0 -2 0 -2 -1 0 1 0
0 0 0 4 1 -1 -1 1

r2*(-1/2),r3*(-1/2),r4*(1/4)
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1/2 -1/2 0 0
0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

ri-r4,i=2,3,4
1 1 1 0 3/4 1/4 1/4 -1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r1-r2-r3
1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r2<->r3
1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

所以 A^-1 =
1/4 1/4 1/4 1/4
1/4 1/4 -1/4 -1/4
1/4 -1/4 1/4 -1/4
1/4 -1/4 -1/4 1/4
= 1/4 A

我觉得授人以鱼不如授人以渔 怎么用初等变换求逆矩阵呢，是这样的： 初等变换相当于对原矩阵左乘或者右乘一个经过相同变换的e矩阵（单位矩阵） 这是书上的定义，看不太懂那就举个例子 对于某个矩阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 对换前两行 4 5 6 1 2 3 7 8 9 相当于左乘一个经过同样变换的单位阵 即 0 1 0 1 0 0 0 0 1 由此可以看出，矩阵实际表示的是元素中的数量关系 用比较抽象的概念理解就叫做秩 扯远了，回到原题 由多元一次方程的解法 a1x1 + a2x2 +a3x3 = a4 b1x1 + b2x2 +b3x3 = b4 c1x1 + c2x2 +c3x3 = c4 一般都写出系数与答案组成的合同矩阵来求解 即 a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 这时只需要用初等矩阵变换把他化为阶梯矩阵就可以得出答案 按照矩阵的表达就是 ax =b ab 化为最简型就是就得出了x的通解 通过最开始提到的矩阵变换可以看作左乘或者右乘单位阵，加上这里的求解方法 那么 a a^-1 = e怎么求出a^-1呢 就是 ae ~ ea^-1 通过初等变换把a变化成e后面带的e就会得出答案a^-1 那么下面就来做做你的这道题目 -2 1 0 1 -2 0 0 1 2 ae = -2 1 0 1 0 0 1 -2 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 初等变换第一行*1/2加到第二行 -2 1 0 1 0 0 0 -3/2 0 1/2 1 0 0 1 2 0 0 1 第一行乘以-1/2 第二行*-1/3加到第一行 1 0 0 5/6 -1/3 0 0 -3/2 0 1/2 1 0 0 1 2 0 0 1 第二行*-2/3 1 0 0 5/6 -1/3 0 0 1 0 -2/6 -2/3 0 0 1 2 0 0 1 第二行*-1加到第三行，第三行乘以1/2 1 0 0 5/6 -1/3 0 0 1 0 -1/3 -2/3 0 0 0 1 1/6 1/ 3 1 到此 a,e~e,a^-1了 以上都是我口算得出的结果，不能保证正确，你可以用草稿纸按照这个思路自己计算一下