∫(dx)/(x²√(1+x²)=?

∫(dx)/(x²√(1+x²)
书上是这样解的

设x=tan(t) (│t│＜π/2),则

∫(dx)/(x²√(1+x²)=sec²∫(sec²t dt)/tan²t*sect=∫(cost/sin²t)dt
=∫(d sint)/sin²t=-1/sint+C=-√(1+x²)/x+C

请问为什么要设x=tan(t)，这个跟tant有啥关系呀？
楼下的两个你们还没说清楚为什么要设成x=tan(t)呀？
这个x是可以随便设的吗？

令x=tant,t∈(-π/2,π/2),x²=tan²t,dx=dtant=sec²tdt
1/x=cott,1/x²=cot²t,1+1/x²=1+cot²t,(1+x²)/x²=csc²t,√(1+x²)/x=csct

∫1/x²√(1+x²)dx
=∫sec²t/tan²t√(1+tan²t)dt
=∫sec²t/tan²t√sec²tdt
=∫sec²tcos²t/sin²tsectdt
=∫cost/sin²tdt
=∫1/sin²tdsint
=-1/sint+C
=-csct+C
=-√(1+x²)/x+C

对于正数a
√(a²+x²)中x∈R,而atant∈R,可令x=atant
√(a²-x²)中x∈[-a,a],而asint∈[-a,a],可令x=asint
这样由三角变换可去掉根号,便于积分

不是随便设,简单的说,你可以考察被积函数的定义域,则可设一个同样是该定义域的函数

这是一种比较常用的换元法 有些时候，直接计算不好算的时候，都会采用换元法 例如 1+x^2 会令x=tant (1-x^2)^(1/2) 会令x=cost或x=sint 反正都是为了便于积分，多做些题，积累一下经验吧~ 不是已经说了嘛，设成x=tant可以去掉积分号，便于后面的计算嘛，这是一个经验问题，自己积累吧

可用待定系数法。 令1/[(1 + x)(1 + x^2)] = a/(1 + x) + (bx + c)/(1 + x^2) ==> 1 = a(1 + x^2) + (bx + c)(1 + x) ==> 1 = (a + b)x^2 + (b + c)x + (a + c) ∴a + b = 0 ==> b = - a ∴b + c = 0 ==> c = - b ∴a + c = 1 ==> c = 1 - a 有1 - a = - (- a) ==> a = 1/2、b = - 1/2、c = 1/2 于是∫ 1/[(1 + x)(1 + x^2)] dx = (1/2)∫ 1/(1 + x) dx - (1/2)∫ x/(1 + x^2) dx + (1/2)∫ 1/(1 + x^2) dx = (1/2)ln|1 + x| - (1/4)ln(1 + x^2) + (1/2)arctan(x) + c = (1/4)ln[(1 + x)^2/(1 + x^2)] + (1/2)arctan(x) + c