为什么基础解系的秩等于r(A)

为什么基础解系的秩等于r(A)

系数矩阵的秩如果为R(A）,那么想当于把方程组化简得到一个未知数个数为n，方程个数为R(A)的方程组，想要解出这个方程的话，至少需要未知数中的n-R（A）个。

n=1是平凡的，以下只讨论n>1。若a是n阶矩阵且r(a)=n-1，b是a的伴随阵，那么ab=ba=det(a)*in=0于是b的列属于a的零空间，b的行属于a'的零空间。注意到a和a'的零空间都是1维的，所以b一定形如cxy'的秩1矩阵(显然b非零)，其中x和y是满足ax=0,y'a=0,x'y=1的非零向量，余下的问题就是确定系数c，事实上c=tr(b)={a的非零特征值的积}，而实际计算时只需要求出b的任意一个非零元就能唯一确定c。