已知函数f (x)=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n(n属于n+)且f(1)=n^2+2n+3求数列a1,a2,a3,……,an的通项公式,

已知函数f (x)=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n(n属于n+)且f(1)=n^2+2n+3求数列a1,a2,a3,……,an的通项公式,

f(1)=n²＋2n＋3
又：以x=1代入题目中的函数式，得：
f(1)=a1＋a2＋a3＋…＋an
则：
a1＋a2＋…＋an=n²＋2n＋3
以及：
a1＋a2＋…＋a(n－1)=(n－1)²＋2(n－1)＋3 (n≥2)
两式相减，得：
an=2n＋1 (n≥2)
当n=1时，a1=6
则：【分段表示】
. { 6 (n=1)
a={ 2n＋1 (n≥2)

f(1)=a1+a2+……+an=(a1+an)*n/2=n^2 =>a1+an=2n => 2a1+(n-1)d=2n……1 f(-1)=-1a1+a2-a3+……+(-1)^n*an 若n为奇数 f(-1)=-a1+a2-a3+……-an=(n-1)/2*d-(a1+(n-1)d) =-(n-1)/2*d-a1=n……2 由1，2得 n=0，矛盾。 所以n为偶数 f(-1)=-a1+a2-a3+……+an=n/2*d=n =>d=2 => a1=1,an=2n-1 => f(1/2) = 1/2 + 3*(1/2)^2 +……+ (2n-1)*(1/2)^n 1/2*f(1/2) =(1/2)^2 + …… + (2n-3)*(1/2)^n + (2n-1)*(1/2)^(n+1) => f(1/2)-1/2f(1/2) = 1/2*f(1/2) =1/2 + 2*((1/2)^2 + (1/2)^3 +……+(1/2)^n) - (2n-1)*(1/2)^(n+1) <1/2 + 2*1/4 /(1-1/2) =3/2 => f(1/2)<3 =>

f(1)=a1+a2+……+an= n^2+2n+3 即：a1+a2+……+an=n^2+2n+3 ① 当n>1时，有a1+a2+……+an-1= (n-1)^2+2(n-1)+3② ①- ②得到： an=2n+1 因为此时n>1，下面验证n=1时的结果 在①中，令n=1，得到 a1=6 不满足an=2n+1 所以an的通项公式为分段函数 当n=1时，an=6 当n>1时，an=2n+1