凹凸性证明1/2（b-a）【f(a) f(b)】大于a到bf（x）积分
答案:2 悬赏:10
解决时间 2021-03-14 19:54
- 提问者网友：神仙爷爷
- 2021-03-14 08:18
凹凸性证明1/2（b-a）【f(a) f(b)】大于a到bf（x）积分
最佳答案
- 二级知识专家网友：瘾与深巷
- 2021-03-14 09:54
本题要求f(x)在(a,b)上恒正（或恒负）
左边=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx
积分变量可随便换字母
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy
这样变成一个二重积分
=∫∫ f(x)/f(y)dxdy 其中：积分区域是a≤x≤b,a≤y≤b,这个区域具有轮换对称性
=(1/2)∫∫ [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy 原因是∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
≥(1/2)∫∫ 2 dxdy 这里用了个平均值不等式
=∫∫ 1 dxdy
=(b-a)²=右边
证毕
左边=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx
积分变量可随便换字母
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy
这样变成一个二重积分
=∫∫ f(x)/f(y)dxdy 其中：积分区域是a≤x≤b,a≤y≤b,这个区域具有轮换对称性
=(1/2)∫∫ [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy 原因是∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
≥(1/2)∫∫ 2 dxdy 这里用了个平均值不等式
=∫∫ 1 dxdy
=(b-a)²=右边
证毕
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- 1楼网友：樣嘚尐年
- 2021-03-14 11:04
请拍一下，我再回答。
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