已知a,b,c成等差数列,求证a^2(b+c),b^2(c+a),c^(a+b)也成等差数列
答案:2 悬赏:60
解决时间 2021-01-04 04:15
- 提问者网友：西路不相离
- 2021-01-03 15:36
已知a,b,c成等差数列,求证a^2(b+c),b^2(c+a),c^(a+b)也成等差数列
最佳答案
- 二级知识专家网友：年轻没有失败
- 2021-01-03 16:06
a,b,c成等差数列
∴2b=a+c b=(a+c)/2代入
2b²(c+a)-a²(b+c)-c²(a+b)
=1/2*(a+c)²(c+a)-a²(a/2+3c/2)-c²(3a/2+c/2)
=1/2*(a+c)²(c+a)-a²(a/2+c/2)-a²c-c²(a/2+c/2)-c²a
=1/2((a+c)²-a²-c²)(a+c)-a²c-c²a
=ac(a+c)-a²c-c²a
=0
∴a^2(b+c),b^2(c+a),c^(a+b)也成等差数列
∴2b=a+c b=(a+c)/2代入
2b²(c+a)-a²(b+c)-c²(a+b)
=1/2*(a+c)²(c+a)-a²(a/2+3c/2)-c²(3a/2+c/2)
=1/2*(a+c)²(c+a)-a²(a/2+c/2)-a²c-c²(a/2+c/2)-c²a
=1/2((a+c)²-a²-c²)(a+c)-a²c-c²a
=ac(a+c)-a²c-c²a
=0
∴a^2(b+c),b^2(c+a),c^(a+b)也成等差数列
全部回答
- 1楼网友：滚出爷的世界
- 2021-01-03 17:15
1/a+1/c=2/b,两边同时乘a，b，c，分别得
2a/b-a/c=1
b/a+b/c=2
2c/b-c/a=1
要证(b+c)/a+(a+b)/c=2(c+a)/b
即(b/a+b/c)+(c/a-2c/b)+(a/c-2a/b)=0
而(b/a+b/c)+(c/a-2c/b)+(a/c-2a/b)=2-1-1=0
故（b+c）/a,（c+a）/b,（a+b）/c成等差数列
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