f(x+a)=-f(x),f(x)在[0,a)上是单调函数，周期T是否一定为2a?

可以的话，请给出证明，谢谢！！

题目出得不好，应该问2a是否一定为周期，或者最小正周期T是否一定为2a
周期可以有很多，一般来说应该讨论最小正周期
此题中，如果f(x)恒等于0，则周期可以为任意数，所以最好将题设改成这样：
f(x+a)=-f(x),f(x)在[0,a)上是不恒为常数的单调函数，最小正周期T是否一定为2a?

完整证明如下：
先证周期性：
f(x+2a)=f(x+a+a)=-f(x+a)=-(-f(x))=f(x)
所以2a是f(x)的周期

再证最小性：
假设另存在0<b<2a，使得f(x)以b为周期，则有f(x+b)=f(x)

对b又分3种情况：
第一种：若0<b<a,
因为函数在[0,a)上单调，所以f(x)在[0,b]上恒为f(0)，再由周期性可得f(x)恒为f(0)，矛盾

第二种：若b=a
f(x+a)=-f(x)
f(x+a)=f(x)
得f(x)恒等于0，矛盾

第三种：若a<b<2a
则f(x+2a-b)=f(x+2a)=f(x)
即2a-b也是f(x)的周期
又因为0<2a-b<a
所以又回到第一种矛盾的情形

综上，不存在0<b<2a，使得f(x+b)=f(x)

证毕

一定的。 证明： f(x+a)=-f(x) f(x)=-f(x-a) 即f（x+a）=f（x-a） 变换为f（x+2a）=f（x） 即周期T是否一定为2a。

周期函数的定义： f(x+t)=f(x) ,x是定义域内任意值，t<>0 f( x +2a) =f((x+a) +a) （这里x 就是(x+a)） = - f(x+a) = f(x) 连续应用f（x＋a）＝－f（x）