已知三角形ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、

c，若三角形ABC的面积S=c^2-(a-b)^2, 则tan C/2=？

你是不是想求 tan（C/2）呀？若是这样，则方法如下：
∵△ABC的面积＝（1/2）absinC，又△ABC的面积＝c^2－（a－b）^2，
∴（1/2）absinC＝c^2－（a－b）^2＝c^2－a^2－b^2＋2ab
两边同除以（2ab），得：（1/4）sinC＝（c^2－a^2－b^2）/（2ab）＋1

由余弦定理，有：cosC＝（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）＝－（c^2－a^2－b^2）/（2ab），
∴（1/4）sinC＝－cosC＋1，∴sinC＋4cosC－4＝0，
∴2sin（C/2）cos（C/2）＋4｛1－2［sin（C/2）］^2｝－4＝0，
∴2sin（C/2）cos（C/2）－8［sin（C/2）］^2＝0，
显然，sin（C/2）＞0，cos（C/2）＞0，∴cos（C/2）＝4sin（C/2），∴tan（C/2）＝1/4。

 

用海伦面积公式，s=c²-(a-b)²=根号下((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/16)

两边平方，则(c+a-b)(c+b-a)=(a+b+c)(a+b-c)/16

从而16c²-16(a-b)²=(a+b)²-c²，即17c²=17a²+17b²-30ab

则cosc=(a²+b²-c²)/2ab=15/17

所以tanc=8/15，又tanc=2tan(c/2)/(1-tan²(c/2))

则tan(c/2)=1/4

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