计算定积分

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解决时间 2021-02-15 21:35

提问者网友：恋你成殇
2021-02-15 15:19

计算定积分

最佳答案

二级知识专家网友：duile
2021-02-15 16:39

解：（1）原式=1/2∫(1,2)d(2x-1)/(2x-1)
=(1/2ln|2x-1|)|(1,2)
=1/2(ln3-0)
=1/2ln3
（2）∵∫(0,1)(2x+k)dx=(x²+kx)|(0,1)=1+k
又∫(0,1)(2x+k)dx=2
∴1+k=2
故k=1
（3）原式=∫(0,1)2t²dt/(t²+1) (用t=√(e^x-1)代换)
=2∫(0,1)[1-1/(t²+1)]dt
=2(t-arctant)|(0,1)
=2(1-π/4)
=2-π/2
（4）原式=∫(a,x)f(t+a)d(t+a)
=∫(2a,x+a)f(u)du (用u=t+a代换)
=∫(2a,x+a)F'(u)du (∵F'(x)=f(x))
=[F(u)]|(2a,x+a)
=F(x+a)-F(2a)
（5）原式=1/2∫(0,1)e^(x²)d(x²)
=1/2[e^(x²)]|(0,1)
=1/2(e-1)
（6）原式=∫(1,e)lnxdx
=(xlnx)|(1,e)-∫(1,e)dx (应用分部积分法)
=（e-0)-(e-1)
=1
（7）原式=(-xcosx)|(0,π/2)+∫(0,π/2)cosxdx (应用分部积分法)
=(0-0)+(sinx)|(0,π/2)
=1-0
=1

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1楼网友：闲懒诗人
2021-02-15 17:21

用换元法，先求不定积分，定积分用牛顿莱布尼兹公式自己带，

令x=tant,则dx=(sect)^2 dt，积分限由x 的1到根号3变为t的π/4到π/3，

原式=∫(sect)^2/[(tant)^2]*sect dt

=∫cost/(sint)^2 dt

=∫1/(sint)^2 d(sint) (凑微分）（此形式相当于∫1/x^2 dx)

= - 1/sint +c

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