x^3+px+q=0

x^3+px+q=0
a、b、c是方程的三个根

为什么说“由根与系数的关系知，a+b+c=0”？

不胜感激！

这个就是考察你的基本问题
把a b c三根代入得到的啊！
a^3+pa+q=0
b^3+pb+q=0
c^3+pc+q=0
然后是(a^3+b^3+c^3)+p(a+b+c)+3q=0
那么得到(a^3+b^3+c^3)/3+p(a+b+c)/3+q=0
和原方程相比得到(a^3+b^3+c^3)/3开三次方和(a+b+c)/3相等，所以得到
a+b+c=0

三次方程的根与系数的关系： 若方程(a0)x^3+(a1)x^2+(a2)x+a3=0的三个根是x1,x2,x3,则： x1+x2+x3=-a1/a0 x1x2+x2x3+x1x3=a2/a0 x1x2x3=-a3/a0 在你的问题中，二次项系数a2=0,a1=1, 所以a+b+c=-0/1=0. 明白了吗？

y'=3x^2+p

设切点横坐标为t，则有

y(t)=t^3+pt+q=0 (1)

y'(t)=3t^2+p=0 (2)

由(2)得t^2=-p/3，代入(1)得-pt/3+pt+q=0

2pt/3=-q

p^2t^2/9=q^2/4

-p^3/27=q^2/4

p^3/27+q^2/4=0