题目 设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x

题目设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x题目设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)

g(x)=f(x)+f(-x)/2
h(x)=f(x)-f(-x)/2

f(x)=g(x)+h(x) f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x) g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2

要证的是存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x) 条件是函数f(x)的定义域为(-l,l) 假若g(x)、h(x)存在，使得f(x)=g(x)+h(x)，（1）， 且g(-x)=g(x)，h(-x)=-h(x) 袱功递嘉郛黄店萎锭联 于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)，（2） 这几句是必然成立的，无需证明，也没用到任何条件，纯属构造 只是一个铺垫，目的是引入g(x)和h(x) 主要是证这两个函数中有一个是奇函数一个是偶函数，这才是证明的核心所在， 只要找到了一个奇函数和一个偶函数来表示f(x)，证明就完成了 于是就有了下面的语句 g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 h(x)=[f(x)-f(-x)]/2 则 g(x)+h(x)=f(x)， g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)， h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x). 就是通过 f(x)把g(x)和h(x)表示出来 然后通过这种对称的形式证明了f(x) g(x)中一个是奇函数一个是偶函数