证明当x＞0时，x–x^3/6＜sinx＜x
答案:1 悬赏:30
解决时间 2021-01-30 16:21
- 提问者网友：他的思颖
- 2021-01-30 13:29
证明当x＞0时，x–x^3/6＜sinx＜x
最佳答案
- 二级知识专家网友：修女的自白
- 2021-01-30 13:42
先证右边
设f(x)=sinx-x
则f(0)=0
f'(x)=cosx-1≤0
∴f(x)递减，
∴x＞0时，f(x)＜f(0)=0
∴sinx＜x
再证左边
设g(x)=sinx-x+x^3/6
则g(0)=0
g'(x)=cosx-1+x^2/2
g'(0)=0
g''(x)=-sinx+x
由前面的结果，
x＞0时，g''(x)=-sinx+x＞0
∴g'(x)递增，
∴x＞0时，g'(x)＞g'(0)=0
∴g(x)递增，
∴x＞0时，g(x)＞g(0)=0
∴sinx＞x-x^3/6
设f(x)=sinx-x
则f(0)=0
f'(x)=cosx-1≤0
∴f(x)递减，
∴x＞0时，f(x)＜f(0)=0
∴sinx＜x
再证左边
设g(x)=sinx-x+x^3/6
则g(0)=0
g'(x)=cosx-1+x^2/2
g'(0)=0
g''(x)=-sinx+x
由前面的结果，
x＞0时，g''(x)=-sinx+x＞0
∴g'(x)递增，
∴x＞0时，g'(x)＞g'(0)=0
∴g(x)递增，
∴x＞0时，g(x)＞g(0)=0
∴sinx＞x-x^3/6
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