已知以点C (t,2/t)(t属于R,t不等于0)为圆心的圆与X轴交与点O、A，于Y轴交于点O、B，其中O为原点。

已知以点C (t,2/t)(t属于R,t不等于0)为圆心的圆与X轴交与点O、A，于Y轴交于点O、B，其中O为原点。

（1）
∵圆C过原点O，∴OC²=t²+ 4/t²，
则圆C的方程为 (x-t)²+(y-2/t)²=t²+4/t²
令x=0，得y=0，或y= 4/t
令y=0，得x=0，或x=2t
所以，A点坐标为（2t，0），B点坐标为（0， 4/t），
∴S△OAB= OA×OB×1/2= |4/t|×|2t|×1/2=4
即，△OAB的面积为定值4
（2）
∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|
∴OC垂直平分线段MN．
∵直线y的斜率=线段MN的斜率=-2
∴线段OC所在直线的斜率= 1/2
∵点C坐标为（t，2/t）
∴ (2/t)/t=1/2，即 t²=4
解得 t=2，或t=-2
当t=2时，
圆心C的坐标为（2，1），半径OC=√5
此时圆心到直线y=-2x+4的距离
d=|-4-1+4|/ √5=(√5)/5＜√5
即，圆C与直线y=-2x+4相交于两点．符合题意
当t=-2时，
圆心C的坐标为（-2，-1），半径OC=√5
此时圆心到直线y=-2x+4的距离
d=|4+1+4|/√5=(9√5)/5＞√5
即，圆C与直线y=-2x+4不相交
∴ t=-2不合题意，舍去．
∴ 圆C的方程为(x-2)²+(y-1)²=5