已知函数f(x)=e^x-2x(为自然对数的底数)(1)求f(x)的极小值(2)求证:f(x)

已知函数f(x)=e^x-2x(为自然对数的底数)
(1)求f(x)的极小值
(2)求证:f(x)≥-x+1在[0，+∞)上恒成立

解：（1）f(x)=e^x-2x，定义域为R，
则f'(x)=e^x-2，
由f'(x)=0得：x=ln2，
当x∈(-∞，ln2)时，f'(x)<0；
当x∈(ln2，+∞)时，f'(x)>0.
∴f(x)在(-∞，ln2)单调递减，在(ln2，+∞)单调递增.
故f(x)的极小值=f(ln2)=2-2ln2.

（2）令g(x)=f(x)+x-1=e^x-x-1，
则g'(x)=e^x-1,
当x∈[0，+∞)时，g'(x)≥0,
∴g(x)在[0，+∞)单调递增,
∴g(x)≥g(0)=0,
∴f(x)+x-1≥0，
即f(x)≥-x+1在[0，+∞)恒成立.

f'(x)=(2x+2+a)*e^x 令f'(x)=0 x=-(2+a)/2 (1) -(2+a)/2>=1 即a<=-4 f(x)在区间[-1,1]内是减函数 最大值=f(-1)=(a-2)/e<=e^2 a-2<=e^3 a<=e^3-2 最小值=f(1) =(2+a)*e>=-2 a>=-2/e-2 -2/e-2>-4 交集为空 （2） -(2+a)/2<=-1 即a>=0 f(x)在区间[-1,1]内是增函数 最大值=f(1)=(2+a)e<=e^2 a+2<=e a<=e-2 最小值=f(-1) =(-2+a)/e>=-2 a>=2-2e 交集为0<=a<=e-2 (3)-1< -(2+a)/2<=1 即-4=-2 e^(-(2+a)/2)<=1 -(2+a)/2<=0 a>=-2 f(1)=(2+a)*e f(-1)=(-2+a)/e f(1)>=f(-1)时 (2+a)*e>=(-2+a)/e a>=-2(e^2+1)/(e^2-1) 此时 交集为-2<=a<0 f(1)<=f(-1)时 (2+a)*e<(-2+a)/e a<-2(e^2+1)/(e^2-1)<-2 交集为空 综上由（1）（2）（3）可知 实数a的取值范围 -2<=a<=e-2